Hemmes mathematische Rätsel: Wie weit ist D von den Punkten eines Dreiecks entfernt?
1999 stellte ein anonymer Autor den Leserinnen und Lesern der Zeitschrift »Quantum« folgende Aufgabe:
Ein gleichseitiges Dreieck mit den Ecken A, B und C hat die Seitenlänge 1. Der Punkt D hat von der Ecke A den Abstand 7. Wie weit ist er von den Ecken B und C entfernt, wenn diese beiden Abstände auch ganzzahlig sind?
Da die Punkte B und D vom Punkt A die Abstände 1 und 7 haben, muss die Entfernung zwischen den Punkten B und D mindestens 6, kann aber höchstens 8 sein. Weil die Strecke BD außerdem ganzzahlig sein soll, kann sie nur die Länge 6, 7 oder 8 haben.
Falls sie die Länge 6 oder 8 hat, müssen die Punkte A, B und D auf einer Gerade liegen. Entsprechend kann auch die Strecke CD nur die Länge 6, 7 oder 8 haben, und falls sie die Länge 6 oder 8 hat, müssen ACD auch auf einer Geraden liegen. Da aber nicht alle vier Punkte auf einer Geraden liegen können, haben die Abstände AD, BD und CD alle die Länge 7, und der Punkt D ist die Spitze eine Pyramide, deren Grundfläche das Dreieck ABC ist.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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