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Hemmes mathematische Rätsel: Wie weit ist der Baum von der vierten Ecke des Gartens entfernt?

Auf einem rechteckigen Garten steht ein Baum 210m von der Nordwestecke, 180m von der Südostecke und 60m von der dritten Ecke entfernt. Wie weit ist es bis zur vierten Ecke?
Ein einzelner Baum steht in einer Landschaft aus gelbem Sand.

Der Mathematiker James Alston Hope Hunter (1902–1986) aus Toronto hat mehr als ein halbes Dutzend Bücher mit selbst erfundenen mathematischen Denksportaufgaben veröffentlicht. Alle Probleme sind in kleine Geschichten gekleidet und oft sogar in Versform gebracht worden. Im »Recreational Mathematics Magazin« stellte er im April 1961 folgendes Rätsel.

Auf Mr. Obsts Farm steht ein großer Nussbaum. Er ist von der Nordwestecke eines exakt rechteckigen Gartens 210 Yard und von der Südostecke 180 Yard entfernt. Von der dritten Ecke hat der Baum einen Abstand von 60 Yard. Wie weit ist es von dem Baum bis zur vierten Ecke des Gartens?

Aus der Aufgabe geht nicht hervor, ob der Baum innerhalb oder außerhalb des Gartens steht. Deshalb ist es geschickt, den Baum in den Ursprung eines Koordinatensystems zu setzen und die Eckpunkte des Gartens durch x- und y-Koordinaten zu beschreiben. Dadurch können die Eckpunkte zwar negative Werte annehmen, aber es spielt keine Rolle, ob der Baum irgendwo innerhalb oder außerhalb des Gartens steht, die Gleichungen sind immer gültig.

Der Baum und der Garten

Mit dem Satz des Pythagoras erhält man für die Abstände des Baumes von den Ecken der Rasenfläche die Beziehungen d12 = x22 + y22,
d22 = x12 + y22,
d32 = x12 + y12 und
d42 = x22 + y12.

Addiert man die erste und dritte Gleichung und die zweite und vierte, ergibt sich d12 + d32 = x12 + x22 + y12 + y22 und
d22 + d42 = x12 + x22 + y12 + y22.

Da bei den beiden Gleichungen die rechten Seiten gleich sind, müssen es auch die linken sein: d12 + d32 = d22 + d42. Daraus folgt d1 = √(d22 + d42 − d32) = 270 Yard.

Interessanterweise ist es zwar ohne Probleme möglich, aus den Abständen des Baumes von drei Gartenecken den Abstand zur vierten Gartenecke zu berechnen, aber die Größe des Gartens selbst lässt sich aus diesen Angaben nicht ermitteln.

Der Baum und der Garten

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