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Hemmes mathematische Rätsel: Wie weit ist der Schwerpunkt entfernt?

Ein kleiner, freundlicher Roboter sitzt auf einer Bank in einem schlichten Raum und hält zwei Sprechblasen mit Fragezeichen. Im Hintergrund sind weitere Fragezeichen zu sehen. Das Bild symbolisiert Neugier und das Stellen von Fragen.

Der 1943 in Flörsheim am Main geborene Mathematiker Karl Jakob Dienst aus Aachen schickte mir im Januar ein hübsches Problem aus dem Grenzbereich zwischen Geometrie und Physik.

Ein 3×3-Raster besteht aus neun Quadraten der Seitenlänge 1. Verbindet man einen Eckpunkt M der Quadrate im Inneren des Rasters mit jedem der zwölf Randeckpunkte, entsteht ein schiefer zwölfstrahliger Stern. Wie weit ist der Schwerpunkt des Sterns vom Ausgangspunkt M seiner Strahlen entfernt?

Die Strahlen der Längen 2 und 2√2 werden halbiert. Dadurch erhält man 15 Strecken, sechs der Länge 1, fünf der Länge √2 und vier der Länge √5. Das Gewicht einer Strecke entspricht ihrer Länge, und ihr Schwerpunkt ist ihr Mittelpunkt. Haben zwei Strecken die gleiche Länge, liegt ihr gemeinsamer Schwerpunkt genau in der Mitte der einzelnen Schwerpunkte. Daher haben die acht blauen Strecken mit einer Gesamtlänge von 4(1 + √2) als gemeinsamen Schwerpunkt M. Die beiden nach oben sowie die beiden nach rechts verlaufenden roten Strecken haben als Gesamtschwerpunkt jeweils ein rotes Dreieck und alle vier zusammen den roten Kreis. Die beiden restlichen grünen Strecken der Länge 1 haben als Gesamtschwerpunkt den grünen Kreis, und der Schwerpunkt der orangen Strecke der Länge √2 ist der orange Kreis. Da der blaue, rote, grüne und orange Schwerpunkt auf einer Geraden – der Symmetrieachse – liegen, muss sich dort auch der Gesamtschwerpunkt S befinden. Ist x sein Abstand von M, gilt für das Gleichgewicht 4(1 + √2)x = √2(3/2√2 – x) + 4√5(1/2√2 – x) + 2(3/4√2 – x). Dies kann man auflösen zu x = 1/2(4√10 + 3√2 + 6)/(5√2 + 4√5 + 6) ≈ 0,5199.

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