Hemmes mathematische Rätsel: Wie weit ist der Weg von Entenhausen nach Quakenbrück?
Das heutige Rätsel stammt aus dem 1963 erschienenen Buch »Mathematical Diversions« von James Alston Hope Hunter (1902-1986) und Joseph S. Madachy (1927-2014).
Die drei Städte Entenhausen, Quakenbrück und Gansstadt sind durch schnurgerade Straßen miteinander verbunden. Eines Tages wollte Donald Duck von Entenhausen aus in das 21 Kilometer entfernte Quakenbrück fahren. Aber leider war die Straße wegen einer Baustelle gesperrt und der Verkehr wurde über das 33 Kilometer entfernte Gansstadt umgeleitet.
Als Donald eine ganze Zahl n von Kilometern auf der Straße von Entenhausen nach Gansstadt gefahren war, entdeckte er einen n Kilometer langen Feldweg, der schnurgerade auf die Straße von Entenhausen nach Quakenbrück zulief und hinter der Baustelle auf diese traf. Von dort aus waren es noch genau n Kilometer bis Quakenbrück. Natürlich nahm Donald Duck die Abkürzung. Wie weit war sein Weg von Entenhausen nach Quakenbrück?
Die Längen der drei gleichen Abschnitte von Donald Ducks Abkürzung bezeichnen wir x, die Länge der Straße von Gansstadt nach Quakenbrück mit y und den Winkel, den die beiden Straßen, die von Entenhausen nach Quakenbrück und nach Gansstadt einschließen, mit γ.
Rechnet man in Kilometern gilt für das kleine Dreieck mit dem Winkel γ nach dem Kosinussatz x2 = x2 + (21 − x)2 − 2x · (21 − x) · cos γ und für große y2 = 212 + 332 − 2 · 21 · 33 · cos γ.
Die erste Gleichung kann man zu cos γ = (21 − x)/(2x) umformen und in die zweite einsetzen, was y2 = 212 + 332 − 21 · 33 · (21 − x)/x ergibt. Diese Gleichung lässt sich zu y2 = 2223 − (33 · 72 · 11)/x vereinfachen.
Sowohl x als auch y sollen ganzzahlig sein. Darum muss x ein Teiler von 33 · 72 · 11 sein. Weil x größer als 7, aber kleiner als 21 ist, kommen nur die beiden Werte 9 und 11 in Frage. Da sich nur mit der 11, nicht aber mit der 9 ein ganzzahliger Wert für y ergibt, muss x = 11 sein und Donalds Umweg eine Länge von 33 Kilometern haben.
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