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Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang ist die Strecke von Astadt nach Behausen?

Ein Zug, der zwischen Astadt und Behausen verkehrt, hat Verspätung. Können Sie aus den Angaben im Rätsel herausfinden, wie weit die Strecke ist?
Am Bahnhof Potsdamer Platz in Berlin

Volker Wagner aus Wermelskirchen im Bergischen Land hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Das heutige Rätsel veröffentlichte er am 8. Mai 2004 im Knobelforum, einer Denksportseite im Internet mit knapp 20 000 Knobeleien.

Herr Meier fuhr mit der Bahn von Astadt nach Behausen. Als er eine Stunde unterwegs war, hatte die Lokomotive einen Maschinenschaden und konnte nur noch mit einem Drittel ihrer ursprünglichen Geschwindigkeit weiterfahren. Dadurch erreichte der Zug Behausen mit drei Stunden und zwanzig Minuten Verspätung. Herr Meier verpasste deshalb eine wichtige Verabredung um genau eine Stunde. Hätte der Zug noch 60 Kilometer weiter mit seiner ursprünglichen Geschwindigkeit fahren können, wäre Herr Meier genau pünktlich zu seiner Verabredung gekommen.

Angenommen, der Zug wäre sowohl vor als auch nach dem Maschinenschaden mit jeweils konstanten Geschwindigkeiten gefahren und es hätte nirgendwo einen Aufenthalt gegeben. Wie lang ist dann die Strecke von Astadt nach Behausen?

Am einfachsten lässt sich das Problem lösen, wenn man sich zunächst einmal ein Weg-Zeit-Diagramm der tatsächlichen Zugfahrt und der beiden möglichen Fahrten zeichnet. Um nur mit ganzen Zahlen rechnen zu müssen, sind alle Zeiten in Minuten angegeben.

Die Geschwindigkeit des Zugs auf dem IV. und V. Wegabschnitt beträgt v. Daraus ergibt sich für diese beiden Abschnitte v = (60 km)/t = S/T.

Auf den Abschnitten II und III fährt der Zug nur mit einem Drittel dieser Geschwindigkeit. Somit gilt v/3 = (60 km + S)/(t + T + 200 min) = S/(T + 140 min). Löst man dieses Gleichungssystem auf, erhält man v = 2 km/min, S = 140 km, t = 30 min und T = 70 min.

Nun kann man auch für den I. Wegabschnitt s = v · 60 min = 120 km ermitteln. Somit erhält man eine Gesamtfahrtstrecke des Zuges von 320 km.

Der Maschinenschaden

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