Hemmes mathematische Rätsel: Wie weit stehen die Bäume auseinander?
An einer einen Kilometer langen geraden Straße stehen zwei Bäume. Die Orte am Straßenrand, an denen man sie vor vielen Jahren anpflanzte, waren rein zufällig gewählt worden. Wie groß ist der Abstand der beiden Bäume, den man erwarten kann?
Wir halbieren die Straße in zwei 500 Meter lange Abschnitte. Die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Bäume in verschiedenen Abschnitten stehen, ist mit 1/2 genauso groß wie die, dass sie im selben Abschnitt stehen. Im ersten Fall ist der mittlere Abstand der beiden Bäume der Abstand, den sie hätten, wenn sie jeweils genau in der Mitte ihrer Abschnitte stünden. Der Erwartungswert in diesem Fall ist also E1 = 1/2 km. Im zweiten Fall braucht man nur den Abschnitt zu betrachten, in dem beide Bäume stehen. Damit ist der zweite Fall identisch mit der gesamten Aufgabe, außer dass sich die Länge der Straße halbiert hat. Somit ist der Erwartungswert E2 für den zweiten Fall halb so groß wie der Erwartungswert E für das gesamte Problem. Folglich gilt E = 1/2E1 + 1/2E2 = 1/2E1 + 1/4E, was man zu E = 2/3E1 = 1/3 km auflösen kann.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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