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Wigner-Seitz-Zelle im hcp-Gitter

Treitz-Rätsel

Im dichtest-gepackten hexagonalen Gitter (hcp = hexagonal closest packing) ist jedes Atom von 12 nächsten Nachbarn umgeben, davon bilden 6 mit ihm selbst ein ebenes reguläres Sechseck, und die anderen bilden zwei Dreiecke, die (im Gegensatz zum kubischen Gitter fcc = face-centered cubic) nicht gegeneinander verdreht sind.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Wie sieht das Polyeder (etwa) aus, das aus den Punkten besteht, die einem (z. B. dem mittleren) Atom(-kern) näher sind als jedem anderen? Gesucht ist also die Wigner-Seitz-Zelle des hcp-Gitters.

Die Grenzflächen der Wigner-Seitz-Zelle stehen rechtwinklig und in der Mitte auf je einer Verbindunglinie zweier Atome.

Dieses Stereobild zeigt jeweils links das hcp- und rechts das kubische fcc-Gitter, beide haben die gleiche Raumausfüllung und unterscheiden sich gewissermaßen in einer Verschiebung oder Drehung gewisser Schichten.

© Norbert Treitz
© Norbert Treitz

Dieses seltsame Polyeder ist sozusagen eine sechkantige Säule, die mit je drei Rauten an den Enden angespitzt ist. Diese Rauten sind die gleichen wie im Rhombendodekaeder, das seinerseits die Wigner-Seitz-Zelle für das fcc-Gitter ist. Die 12 Flächen sind also 6 Trapeze und 6 Rauten.

Bienenwaben sind nach demselben Prinzip gebaut, nur ist bei ihnen das Säulenstück länger (sonst würde die Bienenlarve keinen Platz finden).

Die Ecken der Wigner-Seitz-Zelle sind die Mittelpunkte der Oktaeder und der Tetraeder, deren Ecken jeweils benachbarte Atomkerne sind (wie es auch beim Rhombendodekaeder im fcc-Gitter ist, nur liegen die Tetraeder und die Oktaeder dort "regelmäßiger" zueinander.

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