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Hemmes mathematische Rätsel: Wo könnte die Katze die Maus fangen?

Katze und Maus sind 3m voneinander entfernt und laufen gleichzeitig los. Wie sieht die Kurve der Orte aus, an denen die Katze die Maus fangen könnte?
Katz und Maus

Das heutige Rätsel erhielt ich im August 2021 von Hartmut Nollau aus Berbersdorf in Sachsen.

Eine Katze, die gut getarnt im Gras hockt, beobachtet eine Maus, die 30 Meter vor ihr auf dem Boden sitzt. Plötzlich läuft die Maus los, und im selben Moment startet auch die Katze, um die Maus zu fangen. Beide Tiere laufen auf schnurgeraden Wegen und mit konstanten Geschwindigkeiten. Die Katze, die doppelt so schnell rennt wie die Maus, ist ein kluges Tier und wählt die Richtung ihres Wegs so, dass sie die Maus fangen kann.

Da Sie jedoch nicht wissen, in welche Richtung die Maus läuft, können Sie auch nicht den Ort ermitteln, an dem die Katze sie fängt. Aber können Sie zumindest die Kurve ermitteln, auf der alle möglichen Orte liegen, an denen die Katze auf die Maus treffen könnte?

Um die gesuchte Kurve zu bestimmen, nutzen wir ein x-y-Koordinatensystem. Zu Beginn sitzen die Katze und die Maus beide auf der x-Achse. Zwei Punkte der gesuchten Linie, die beide auf der x-Achse liegen, sind sehr leicht zu finden. Der eine Punkt liegt zwischen den beiden Tieren und ist 20 m von der Katze und 10 m von der Maus entfernt und der andere Punkt liegt rechts der Maus und ist 60 m von der Katze und 30 m von der Maus entfernt.

Den Ursprung des Koordinatensystems legen wir nun genau in die Mitte zwischen diesen beiden Punkten. Ein beliebiger Treffpunkt P von Katze und Maus ist s von der Maus und 2s von der Katze entfernt. Mit seinen Koordinaten x und y gelten nach dem Satz des Pythagoras die beiden Gleichungen (x + 10 m)2 + y2 = s2 und (x + 40 m)2 + y2 = 4s2.

Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, erhält man (x + 40 m)2 + y2 = 4((x + 10 m)2 + y2), was sich zu x2 + y2 = (20 m)2 vereinfachen lässt.

Dies ist die Gleichung eines Kreises, der seinen Mittelpunkt im Ursprung hat und einen Radius von 20 m besitzt.

Katz und Maus

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