Hemmes mathematische Rätsel: Wo steckt der Fehler?
Walter Lietzmann (1880-1959) war kein herausragender Mathematiker, aber ein großartiger Didaktiker. Er studierte in Göttingen, promovierte bei David Hilbert und wurde 1919 von Felix Klein an die Kaiser-Wilhelm-II.-Realschule geholt. Er schrieb zahlreiche Bücher zur Didaktik der Mathematik und auch einige zur Unterhaltungsmathematik. Eines seiner ersten Bücher war ein dünnes Bändchen mit dem Titel »Wo steckt der Fehler?«, das er gemeinsam mit dem dänischen Mathematiker Viggo Trier 1913 herausgab. Es ist eine wunderschöne Sammlung von mathematischen Fehlern und Trugschlüssen. Ein leicht verändertes Beispiel daraus ist die obige Rechnung.
Im ersten Schritt werden beide Seiten der Gleichung mit 4 multipliziert. Anschließend werden die beiden Terme in Differenzen aufgespalten. Nun wird zu beiden Seiten der Gleichung (15b − 14a) addiert. Danach kann man auf der linken Seite 5 und auf der rechten 7 ausklammern. Schließlich werden noch beiden Seiten durch (3b − 2a) geteilt und man erhält 5 = 7. Wo steckt der Fehler?
Die letzte Umformung bei der Rechnung war eine Division durch 3b − 2a. Die Ausgangsgleichung a = 3b/2 kann man zu 3b − 2a = 0 umstellen. Die letzte Umformung war also eine Division durch 0, und das ist eine in der Mathematik verbotene Operation, denn mit ihr kann man jedes noch so unsinnige Ergebnis herleiten. Ansonsten ist die Rechnung bis auf den letzten Schritt richtig.
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