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Würfelsumme

Treitz-RätselLaden...

Wie oft bekommt man mit 2 Würfeln eine 7? Wie oft eine 2?

Grafisch kann man das so lösen: Ordnet man die 36 gleich wahrscheinlichen Fälle zu einem Quadrat, bei dem jede Seite das anzeigt, was einer der beiden Würfel macht, so findet man die 7 auf der Diagonalen mit 6 von 36 Fällen, also der Wahrscheinlichkeit 1/6. Die 2 oder die 12 haben dagegen jeweils 1/36.

Wenn man die Wahrscheinlichkeit gegen die Augensumme aufträgt, erscheint das Quadrat um 45 Grad gekippt, und es ergibt sich das Bild einer Dreiecksfunktion – na ja, deren Annäherung in ziemlich grob geformten Stufen.

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Wie ist das Ganze mit 3 Würfeln?

Wir denken uns 216 Kugeln – jede Kugel ein Wurfereignis mit drei Würfeln – zu einem Würfel aus 6 mal 6 mal 6 Kugeln zusammengesetzt. Entlang jeder Würfelkante (Koordinatenachse) wächst die Augenzahl eines der drei Würfel.

Nun suchen wir die Kugeln, die zu jeweils einer gemeinsamen Augensumme gehören.

Zur 3 und zur 18 gehört jeweils nur eine in einer Ecke. Zur 4 und zur 17 sind es jeweils 3 in einem Dreieck, und so gehen wir schichtweise in den großen Würfel hinein. Wenn wir uns den Würfel auf einer Ecke (der Kugel (1, 1, 1)) stehend vorstellen, liegen diese Schichten waagerecht und sind zunächst immer größere Dreiecke, die sich zu zwei Pyramiden auftürmen, eine untere kopfstehend und eine obere in der gewohnten Position. Nach der 6. Schicht würden aber die Dreiecke den Würfel überragen, wir bekommen nun Sechsecke mit Dreiersymmetrie. Genau in der Mitte wird ein Würfel zwar (rechtwinklig zur Raumdiagonale) durch ein reguläres Sechseck begrenzt, aber unsere Schichten liegen zu beiden Seiten der Halbierungsebene, keine in ihr; denn 6, die Anzahl der möglichen Augenzahlen, ist gerade.

© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Wir finden für 10 ebenso wie für 11 Augen die Wahrscheinlichkeit 27/216, für 3 oder für 18 natürlich je 1/216. Alle Zahlen sind in diesem (halbautomatisch erzeugten) Bild zu sehen:

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Die Kurve ähnelt nun nicht mehr einer Dreiecksfunktion, sondern einer Glockenkurve. Aber Vorsicht: Das ist nicht die gaußsche Glockenkurve! Die gibt es erst im Grenzfall unendlich vieler Würfel, und das ist in unseren drei Dimensionen schwer zu veranschaulichen. Ersetzt man jedoch unsere drei Würfel durch Zufallsgeneratoren mit viel mehr als 6 Werten, so nähert sich unsere Kurve einer Kurve aus drei Stücken von Parabeln 2. Grades an. Das entspricht den Flächen, die den Würfel rechtwinklig zur Raumdiagonale in beliebig feinen Höhen-Schritten schneiden. Für die pyramidenartigen Endstücke ist das besonders leicht zu sehen: In einem pyramidenförmigen Haus steigt die Etagenfläche quadratisch mit dem Abstand von der Spitze.

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