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Zahl der Teiler

Treitz-Rätsel

Welche natürlichen Zahlen haben genau 12 Teiler (sie selbst und die 1 mitgezählt, also anders gesagt: 11 echte Teiler)?

Sortieren Sie die Teiler z. B. der Zahl 24 nach ihren Primfaktoren und suchen Sie daraus eine Rechenregel.

Eine besonders einfache Lösung ist 2048 = 211, denn sie hat die Teiler von 20 = 1 bis 210 = 1024 als größten echtem Teiler und 211 = 2048 als unechten Teiler, also 12 Teiler, davon 11 echte.

Statt 211 hätte man ebenso gut die 11. Potenz irgendeiner anderen Primzahl nehmen können, z. B. 711, an der Zahl der Teiler ändert das nichts.

Wir wollen im folgenden die unechten Teiler immer mitzählen, weil dann die Formeln etwas einfacher werden.

Eine Lösung ist auch jede Zahl der Form \(a^3\cdot b^2\) mit zwei beliebigen Primzahlen \(a\) und \(b\), denn sie hat die Teiler \(a^m\cdot b^n\), wobei \(m\) alle Werte von 0 bis 3 annehmen darf und \(n\) alle von 0 bis 2. Das sind offenbar 4·3 = 12 Kombinationen, also hat jede derartige Zahl 12 Teiler.

Was haben wir gemacht? Wir haben die Zahl 12 der Teiler ihrerseits zerlegt und gefunden, dass sie auch als 3·4 gelesen werden kann. Wir können aber noch weiter gehen und sie als 2·2·3 lesen. Jede Zahl der Form \(abc^2\) mit Primzahlen \(a,b,c\) hat nun auch 2·2·3 = 12 Teiler. Die kleinste von ihnen ist die 60 mit den Teilern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Die Rechenregel geht so: Man zerlegt die Zahl, deren Teiler-Anzahl gesucht wird, in Potenzen \(p_i^{n_i}\) von Primfaktoren \(p_i\) und addiert zu jedem Exponenten \(n_i\) eine Eins (denn jeder einzelne Primfaktor kann in der nullten bis \(n_i\)-ten Potenz in einem Teiler auftreten). Das Produkt aller \( (n_i+1)\) ist dann die Zahl der (echten plus unechten) Teiler.

Kann man auch eine Zahl finden, die eine Primzahl \(p\) als Zahl ihrer Teiler (unechte mitgezählt) hat?

Ja. Man nehme die Potenz \(n^{p-1}\) einer Primzahl \(n\). Beispiel: 36 = 729 hat die 7 Teiler 1, 3, 9, 27, 81, 243 und 729.

Was für Zahlen haben genau 3 Teiler (davon 2 echte)?

Das sind genau die Quadrate von Primzahlen (d. h. alle und niemand sonst).

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