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Hemmes mathematische Rätsel: Zahlen mit 1

Wie viele ganze Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 1 000 000 000 enthalten wenigstens einmal die Ziffer 1?
Uhr mit rückwärtslaufender Ziffernblattspirale

Volker Wagner aus Wermelskirchen im Bergischen Land hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Im Juni 2012 stellte er in einem Denksportforum im Internet die Frage:

Wie viele ganze Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 1 000 000 000 enthalten wenigstens einmal die Ziffer 1? Von 1 bis 30 sind dies die Zahlen 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 und 21.

Will man die Anzahl der Zahlen, die mindestens einmal die Ziffer 1 enthalten, direkt berechnen, ist die Aufgabe recht schwierig. Sie wird jedoch deutlich einfacher, wenn man einen kleinen Umweg geht und zunächst einmal die Anzahl der Zahlen bestimmt, die keine 1 enthalten.

Lassen wir vorerst einmal die Milliarde außer Betracht und nehmen dafür die 0 hinzu. Außerdem ergänzen wir alle Zahlen mit so vielen führenden Nullen, bis jede von ihnen neun Ziffern besitzt. Wir betrachten also nun die Zahlen von 000 000 000 bis 999 999 999. Diese Zahlen haben neun Stellen, auf denen jeweils neun verschiedene Ziffern stehen können, nämlich 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Folglich gibt es in diesem Bereich 99 Zahlen, die keine 1 als Ziffer haben.

Von den 999 999 999 Zahlen von 1 bis 999 999 999 haben somit 999 999 999 − 99 Zahlen mindestens einmal die Ziffer 1. Nehmen wir jetzt noch die Milliarde hinzu, die ja eine Ziffer 1 besitzt. Dann kommen wir auf 109 − 99 + 1 = 612 579 512 Zahlen mit einer Ziffer 1.

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