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Zahnrad und Kette

Treitz-Rätsel
Manni Murks hat sich beim Schrotthändler zwei Zahnräder mit 24 und 16 Zähnen und eine Fahrradkette mit 100 Gliedern dazu geholt. Leider hat die Kette ein defektes Glied, und bei dem größeren Zahnrad ist ein Zahn etwas schief. Immer wenn diese beiden kaputten Stellen zusammentreffen, springt die Kette mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ab.

Wieviel Umläufe der Kette bzw. wieviel Umdrehungen des defekten Zahnrades liegen zwischen einem solchen Zusammentreffen und dem nächsten? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist solches Zusammentreffen unmöglich, wenn Manni die Kette einsetzt, ohne darauf zu achten?
Denken Sie an Zerlegung in Faktoren.
Im (Computer-) Bild sieht es so aus:
Offenbar müssen 600 Glieder über 600 Zähne laufen, bis sich ein Treffen wiederholt, also sind 25 Umdrehungen des Rades mit 24 Zähnen und zugleich 6 Umläufe der Kette erforderlich, und es gibt 4 Möglichkeiten, die Kette aufzulegen, von denen nur eine das Treffen überhaupt ermöglicht.

Was sind das nun für Zahlen? 600 ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache (kgV) von 24 und 100, 4 der größte gemeinsame Teiler (ggT) von ihnen. [die Bezeichnung kleinstes gemeinsames Vielfaches ist etwas missverständlicher, weil es sich wie ein Produkt anhört].

Man findet diese Zahlen, in dem man alles in Primfaktoren zerlegt, wobei mehrfach vorkommende Primfaktoren auch mehrfach zu schreiben oder zu Potenzen zusammen zu fassen sind, und dann die Schnittmenge für den ggT und die Vereinigungsmenge für das kgV bildet. Daraus ergibt sich auch sogleich, dass das Produkt der beiden Zahlen (hier 100·24 = 2400) gleich dem Produkt aus dem ggT und dem kgV (4·600) ist.

Zahnrad 24 2·3 2·2 -
Kette 100 -2·25·5
ggT = 4-2·2-
kgV = 6002·32·25·5

Wenn die Schnittmenge der Primfaktoren leer ist, ist der ggT = 1, und das kgV ist einfach das Produkt der Zahlen, die dann zueinander teilerfremd sind, etwas vornehmer, aber nicht wesentlich klarer, sagt man auch, sie seien relativ zueinander prim.

Teilerfremde Zahnzahlen werden bei Zahnrädern durchaus bevorzugt, damit ein Zahn des einen Rades nicht nur mit immer der gleichen Teilmenge der Zähne des anderen Rades zusammentrifft, sondern gleich oft mit allen. Auf die Weise wirken sich Unregelmäßigkeiten weniger aus.

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