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Hemmes mathematische Rätsel: Zehn Gleichungen

Können Sie zehn Gleichungen aus Buchstaben Zahlenwerte zuordnen?
Eine Person schreibt Gleichungen auf eine Glasscheibe. Interessant daran ist, dass sie anscheinend die ganze Zeit in Spiegelschrift schreibt.

Henry Ernest Dudeney war wohl der bedeutendste Rätselerfinder, der jemals lebte. Es gibt heute kaum ein Denksportaufgabenbuch, das nicht Dutzende seiner Probleme enthält. Dudeney wurde am 1. April 1857 in Mayfield in England als Sohn eines Dorfschullehrers geboren. Er besuchte niemals eine Universität und erwarb seine sehr guten Mathematikkenntnisse ausschließlich autodidaktisch. Er entwarf über Jahrzehnte für zahlreiche Zeitungen und Magazine regelmäßig Denksportprobleme. Eine Zeitlang arbeitete er auch mit dem großen US-amerikanischen Rätselerfinder Sam Loyd zusammen. Dudeney fasste die meisten seiner Rätsel später auch zu Büchern zusammen, die immer wieder neu aufgelegt wurden und zum Teil auch heute noch erhältlich sind. Er starb am 24. April 1930 in Lewes in England. Das folgende Problem veröffentlichte Dudeney 1928 im »Strand Magazine«.

Jeder der Buchstaben steht für eine Ziffer. Verschiedene Buchstaben bedeuten auch verschiedene Ziffern. Ausdrücke wie AC bedeuten nicht A · C, sondern stellen eine zweistellige Zahl dar.

A · B = B
B · C = AC
C · D = BC
D · E = CH
E · F = DK
F · H = CJ
H · J = KJ
J · K = E
K · L = L
A · L = L

Welche Werte haben die zehn Buchstaben?

Die erste Gleichung kann nur richtig sein, wenn A = 1 oder B = 0 ist. B kann aber nicht 0 sein, da das Ergebnis der zweiten Gleichung sonst einstellig sein müsste. Folglich ist A = 1.

Aus der vorletzten Gleichung folgt, dass K = 1 oder L = 0 ist. Da A jedoch schon 1 ist, muss L = 0 sein.

Das Ergebnis der zweiten Gleichung ist eine Zahl von 12 bis 19, die ein Vielfaches ihrer Endziffer sein muss. Dafür kommen nur 6 · 2 = 12 und 3 · 5 = 15 in Frage. Somit muss das Ergebnis der dritten Gleichung entweder 62 oder 35 und auch wiederum durch ihre Endziffer teilbar sein.

Dies gilt zwar für beide Zahlen, denn 2 · 31 = 62 und 5 · 7 = 35, trotzdem scheidet 62 aus, denn sonst müsste die Ziffer D die zweistellige Zahl 31 sein. Also ist B = 3, C = 5 und D = 7. Das zweistellige Ergebnis der vierten Gleichung beginnt mit einer 5 und ist ein Vielfaches von 7. Dafür gibt es nur eine Möglichkeit: 7 · 8 = 56. Folglich ist E = 8 und H = 6.

Die fünfte Gleichung ergibt mit der gleichen Überlegung F = 9 und K = 2, und aus der sechsten Gleichung erhält man schließlich noch J = 4.

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