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Hemmes mathematische Rätsel: Zwei Zahnräder

Zahnräder

Der russischer Wissenschaftler, Journalist und Buchautor Jakow Issidorowitsch Perelman wurde 1882 in Bialystok geboren und starb 1942 in St. Petersburg. Er studierte Forstwirtschaft, arbeitete aber nie in diesem Beruf, sondern wurde Dozent für Mathematik und Physik. Er verfasste achtzehn Schulbücher und gründete zusammen mit Nadeschda Krupskaja die populärwissenschaftliche Zeitschrift W masterskoi prirody (In der Werkstatt der Natur). Er schrieb über hundert Bücher, darunter etliche aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik. Einige davon wurden auch ins Deutsche übertragen. Aus seinem Buch Heitere Mathematik stammt das folgende Problem.

Die Achse eines Zahnrades mit 24 Zähnen ist starr und das Rad kann sich darum nicht drehen. In die Zähne dieses Rades greift ein kleines Zahnrad mit nur acht Zähnen. Das kleine Zahnrad rollt am dem großen ab. Wie oft hat es sich nach einer Runde um die eigene Achse gedreht?

Würde das kleine Zahnrad mit seinen acht Zähnen an einer geraden Zahnstange mit 24 Zähnen einmal von vorne nach hinten abgerollt werden, würde es sich dreimal um die eigene Achse drehen, denn 24/8 = 3. Doch die 24 Zähne liegen nicht auf einer geraden Zahnstange, sondern entlang des Umfangs eines Zahnrades. Dadurch kommt beim Abrollen noch eine weitere Drehung hinzu. Das kleine Zahnrad dreht sich also bei einer Umrundung des großen Zahnrades viermal um die eigene Achse.

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