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Hemmes mathematische Rätsel: Zweiunddreißig Karten

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Mathematikwettbewerbe für Kinder und Jugendliche, Mathematikolympiaden genannt, haben in Russland eine lange Tradition, die weit in die Zeit der Sowjetunion zurückreicht. Die Kinder werden in Mathematikklubs, die es in jeder größeren Stadt gibt, für die Teilnahme an diesen Olympiaden systematisch trainiert. Die erste internationale Mathematikolympiade fand 1959 in Brasov in Rumänien statt. An ihr nahmen 52 Schüler aus den sieben Ländern Bulgarien, Tschechoslowakei, DDR, Ungarn, Polen, Rumänien und der UdSSR teil. Das heutige Rätsel ist eine russische Aufgabe einer Mathematikolympiade aus dem Jahr 1999. Ich habe nur die Zahlen etwas verändert.

32 Karten sind mit den Zahlen von 1 bis 32 nummeriert. Wählen Sie zwei Karten davon so aus, dass das Produkt ihrer Zahlen gleich der Summe der Zahlen auf den restlichen Karten ist.

Wenn m und n die Zahlen auf den beiden ausgewählten Karten sind, soll die Gleichung 1 + 2 + 3 + 4 + … + 32 − m − n = mn gelten. Die Summe der Zahlen von 1 bis 32 beträgt 32 · 33 / 2 = 528. Damit lässt sich die Gleichung auch als 528 = mn + m + n schreiben. Aus (m + 1)(n + 1) = mn + m + n + 1 ergibt sich für die Gleichung 529 = (m + 1)(n + 1). Da 529 = 232 ist und 23 eine Primzahl ist, muss sowohl m = 22 als auch n = 22 sein. Das ist aber unmöglich, da m und n unterschiedlich sind. Folglich ist das Problem nicht lösbar.

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