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Zwölf Oktaeder

Oktaederhttps://commons.wikimedia.org/wiki/File:Octahedron.jpgLaden...

Können Sie 12 gleich große reguläre Oktaeder zu einem Ring zusammenkleben? Und zwar so, dass jedes von ihnen mit genau zwei anderen verbunden ist, also zwei Dreiecke als Außenflächen verliert?

Man kann ein reguläres Oktaeder so zwischen zwei andere kleben, dass diese zueinander parallel ausgerichtet sind, wenn auch in mehrfacher Hinsicht versetzt. Beim übernächsten kann das schon viel unübersichtlicher sein.

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Denken Sie sich diese 12 Oktaeder wie die Ziffern auf der Uhr nummeriert, also oben die 12 usw. Wir beginnen nun mit der roten Nr. 11 und bauen die gelbe 12 an. In der gleichen Richtung geht es mit der roten Nr. 1 weiter, und da die beiden Klebestellen in Nr. 12 parallel zueinander sind, stehen die beiden roten (Nrn. 11 und 1) völlig parallel zueinander ausgerichtet.

Nun betrachten wir eine Symmetrieebene in Nr. 1 als Symmetrieebene für die Fortsetzung zu den Nrn. 2 und 3. Damit liegen 11 und 3 nicht nur parallel zueinander; es liegen darüber hinaus die beiden Dreiecke, auf die wir fast rechtwinklig blicken, in einer Ebene. Dasselbe gilt für die beiden parallel dahinter; die liegen beide auf der gemeinsamen Tischfläche, während Nr. 1 etwas darüber (dem Betrachter näher) durch die Bindeglieder 12 und 2 gehalten wird. (Wir blicken von oben auf den Tisch.)

Obwohl 11 und 3 parallel zueinander sind, können wir sie – weil sie ja aus gleichseitigen Dreiecken bestehen – auch als um 120o gegeneinander gedreht auffassen, mit geeignet zu definierender Drehachse. Eine solche Drehung macht nicht nur aus Nr. 11 die Nr. 3, sondern aus den Oktaedern 12 bis 3 die Nummern 4 bis 7. Eine weitere Anwendung derselben Drehung bringt die Nummern 8 bis 10 an ihren Platz, womit sich der Ring schließt. Die drei roten Oktaeder 11, 3, 7 berühren den Tisch, die anderen roten 1, 5 und 9 bleiben darüber. Die jeweils nach außen zeigenden Ecken bilden zwei große gleichseitige Dreiecke, eins auf dem Tisch und eins direkt vor uns.

Damit sind auch die beiden weißen Oktaeder zueinander parallel, ebenso die beiden gelben und die beiden blauen. Das gleiche Objekt sieht fast von der Seite etwa so aus:

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© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz
© mit frdl. Gen. von Norbert Treitz

Kann man auch einen Ring aus weniger als 12 Oktaedern zusammenfügen?

Es geht auch mit 10, indem man aus unserem Ring z. B. die beiden weißen ausbaut und wegnimmt. Die offenen Dreiecke stehen dann allerdings verkehrt herum, so dass man die unvollständigen Hälften gegeneinander verdrehen muss. Oder, was auf dasselbe hinausläuft: Man spiegelt eine der Fünfergruppenan der "Schnittebene" und fügt beides zusammen:

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Dieser Ring ist zwar in gewisser Weise minimal, aber nicht so hoch symmetrisch (und m. E. auch nicht so schön) wie der Zwölfer-Ring.

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Nur noch drei der roten (1, 2, 3) sind parallel zueinander, ebenso auch die anderen drei (4, 5, 6), aber nicht alle gemeinsam.

Dass man den Ring vergrößern kann, indem man an drei passenden Stellen Paare von Oktaedern einfügt, die die Kette jeweils geradlinig verlängern, ist ziemlich klar. Kann man aber auch den flachen Ring in der dritten Dimension vergleichbar weit ausbauen?

Fassen wir unsere ursprünglichen roten Oktaeder 3, 7, 11 als die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks auf und die jeweils drei Oktaeder dazwischen als dessen Kanten. Und dann machen wir aus vier derartigen Dreiecken ein Tetraeder! Dabei entsteht eine Krone aus 4 + 18 = 22 Oktaedern:

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Wenn man an den Ecken des Tetraeders noch kleine Tetraeder als Spitzen aufsetzt, wird dessen Gestalt besonders deutlich. Im folgenden Bild ist das Ganze auch noch mit Fäden garniert, die ein großes Oktaeder deutlich machen. Man könnte die offenen Seiten noch mit 4 mal 4 Oktaedern "auffüllen", so dass nur noch kleine Öffnungen zum Innenraum bleiben, aber das würde bei dem verwendeten (Jovo-) Baukasten zu Flächenwinkeln führen, die zu spitz sind. Dann würden aus dem Oktaeder zwei Tetraeder wie eine Stella octangula herausgucken.

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Statt Tetraeder an die Krone aus 22 Oktaedern anzubauen, kann man auch die vorspringenden Oktaeder zu 4-zähligen Pyramiden verkürzen, dann sieht das Ganze sehr rund und gefällig aus:

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