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Verblüffendes Paradoxon verständlich gemacht

Stefan Banach und Alfred Tarski ist etwas Außergewöhnliches geglückt, denn die beiden Mathematik-Gelehrten haben einen der verblüffendsten mathematischen Sätze bewiesen: Aus 1 mach 2. Aber wie geht denn das? Das gleichnamige Buch von Leonard Wapner behandelt diese Frage gründlichst und erklärt in kleinen Schritten diese bizarre mathematische Eigenschaft, so dass auch Nichtmathematiker den einzelnen Kapiteln folgen können.

"Aus 1 mach 2" basiert auf einem Artikel, der 1924 in den Fundamenta Mathematicae erschien und dessen Paradoxon – das so genannte Banach-Tarski-Theorem (BT-Theorems) – wie folgt lautete: "Eine massive Kugel kann in eine endliche Zahl von Teilen zerlegt und dann in einer Weise wieder zusammengefügt werden, dass sich zwei massive Kugeln ergeben, die größengleich mit dem Original sind!"

Georg Cantor wiederum lieferte der Vorarbeiten, denn er revolutionierte die Mathematik, indem er die Mengenlehre als Disziplin einführte. Dank ihr – einer Arithmetik der Unendlichkeiten – konnte der Begriff des Unendlichen vervollkommnet werden. Der Beweis des BT-Theorems erfordert die Manipulation unendlich vieler Punkte einer massiven Kugel und die Manipulation unendlich vieler Rotationen dieser Punkte. Ohne Cantor – ohne den es eine Mathematik des 20. Jahrhunderts, wie wir sie kennen, nicht gäbe – hätte dieses Theorem nicht publiziert werden können. Dieser deutsche Mathematiker machte das Unendliche – von John Wallis im 17. Jahrhundert eingeführt – real. Er begann sich mit der Mächtigkeit von Mengen zu beschäftigen und definierte eine unendliche Menge als jene Menge, die in eine Eins-zu-Eins-Zuordnung mit einer echten Teilmenge ihrer selbst gebracht werden kann. Damit waren alle früheren Vorstellungen von unendlichen Mengen hinfällig.

Im ersten Kapitel des Buchs lernen wir aber noch mehr über unendliche Mengen sowie die Axiome von Zermelo-Fraenkel (ZF-System), eine weitere Mengenlehre, die heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik ist. Kurt Gödel beispielsweise zeigte, dass das Auswahlaxiom mit dem ZF-System konsistent ist, denn es führt zu keinerlei Widersprüchen, wenn man dieses Axiom den Axiomen von ZF hinzufügt. Paul Cohen wiederum belegte, dass das ZF-System konsistent bleibt, selbst wenn das Auswahlaxiom nicht gelten soll. Kombiniert mit Gödels Ergebnissen stellt dies die Unabhängigkeit (Unentscheidbarkeit) dieser Sachverhalte innerhalb dieses axiomatischen Systems fest.

Klassische Paradoxa und Antinomien werden uns im 2. Kapitel vorgestellt. Der Leser begegnet Martin Gardner, dem US-amerikanischer Unterhaltungsmathematiker, und vielen seiner Aufgaben, die man hier auch selbst lösen kann. Im nächsten Kapitel wird dann Hilbert's Hotel vorgestellt – ein jedem versierten Mathematiker sehr bekanntes Hotel: Durch einfaches Verschieben (=Umsiedeln) der Gäste können jederzeit unendlich viele neue Gäste aufgenommen werden – und dies unendlich oft. Mit Peano-Kurven wiederum erkennen wir die Grenzen der (ganzzahligen) Dimensionsangaben. Flächenfüllende oder raumfüllende Kurven werden angegeben. Cantor-Staub, Sierpinski-Teppiche und -Schwämme begleiten uns durch die nächsten Seiten. Doch die größte Überraschung ist der Hyperwebster: das ultimative Lexikon von Ian Stewart. Diese Seiten müssen aber vielleicht auch mehrmals gelesen werden, um das BT-Paradoxon zu begreifen.

Im 5.Kapitel folgt schließlich das BT-Paradoxon im Detail. Auf knapp 22 Seiten erledigen die beiden Autoren den Fall – und schieben weitere 30 Seiten nach, um dies zu erklären. Wesentlich hat mir dabei das Diagramm auf Seite 202 geholfen: Es vergleicht die wirkliche (physikalische) Welt mit der ideellen (mathematischen) verglichen und zeigt die Grenze der Anwendbarkeit des BT-Theorems.

"Aus 1 mach 2" ist ein sehr anspruchsvoll geschriebenes Buch, das eines der verblüffendsten Paradoxa der Mathematik gut erklärt. Ich werde es vielen mathematisch interessierten Freunden empfehlen.
45. Woche 2008

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 45. Woche 2008

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