»Wann stellt ein mathematisches Ergebnis eine Überraschung dar?«: Diese Frage beantwortet Abraham Arcavi vom Weizmann Institute of Science, Rehovot (Israel) gleich im Vorwort zu diesem bemerkenswerten Buch seines ehemaligen Studenten Mordechai Ben-Ari – und zwar anhand eines Beispiels seines Kollegen Maxim Bruckheimer:

»Zwei Punkte liegen auf einer und nur einer Geraden, das ist keine Überraschung. Drei Punkte liegen jedoch nicht notwendigerweise auf einer Geraden, und wenn bei einer geometrischen Untersuchung drei Punkte in eine Gerade ›hineinfallen‹, ist das eine Überraschung […] Alle drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, liegen auf einem Kreis. Wenn jedoch vier Punkte auf demselben Kreis liegen, ist dies eine Überraschung, die als Satz formuliert werden sollte […] Insofern die Anzahl der Punkte auf einer Geraden größer als 3 ist, ist der Satz umso überraschender. Ebenso ist der Satz umso überraschender, je mehr die Anzahl der Punkte, die auf einem Kreis liegen, größer als 4 ist. So ist die Aussage, dass es für jedes Dreieck neun zusammenhängende Punkte auf demselben Kreis gibt […] sehr überraschend. Und trotz des Ausmaßes der Überraschung ist der Beweis elegant und einfach.«

Arcavi hatte Ben-Ari dazu ermuntert, die jetzt vorliegende Sammlung von anregenden Ideen zusammenzustellen. »Mathematische Überraschungen« ist als Open-Access-Titel in digitaler Form frei zugänglich und kann zudem in gedruckter Form gekauft werden. Ohne Einschränkung lässt sich sagen, dass jeder an Mathematik Interessierte an diesem Buch seine Freude haben wird.

Vorausgesetzt werden Kenntnisse, die man bis zum Ende der Sekundarstufe I erworben haben sollte. Als Unterstützung sind im Anhang wichtige Sätze aus Geometrie und Trigonometrie zusammengestellt. Die einzelnen Kapitel sind größtenteils unabhängig voneinander lesbar. Die spannenden Inhalte werden sich allerdings wohl nur in geringem Umfang in den normalen Mathematikunterricht einbeziehen lassen, sind aber hervorragend für Schülerarbeitsgemeinschaften geeignet. Auch Lehramtsstudierende finden hier wertvolle Anregungen für ihre zukünftige Arbeit.

Einleitend schreibt der Autor, dass er für sein Buch möglichst elementare Themen jenseits des üblichen Curriculums ausgewählt hat, die jedoch mathematische Aussagen enthalten, die selbst ihn als »Profi« überrascht haben. Und damit dem Leser die »Pointen« nicht entgehen, findet er am Ende jedes Kapitels den Hinweis, was denn jeweils das Besondere, das Überraschende an den zuvor erarbeiteten Ergebnissen ist.

Mit Lineal und Zirkel

Das Buch ist überwiegend von geometrischen Fragestellungen geprägt. Einen Schwerpunkt bilden zunächst die klassischen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Dabei macht uns der Autor bewusst, dass die Zirkel in der Antike nicht so funktionierten wie die in unseren Tagen. Denn mit dem antiken »kollabierenden« Zirkel können nicht so einfach Streckenlängen übertragen werden, wie das mit den heute verwendeten Zirkeln problemlos möglich ist; allerdings hatte bereits Euklid für das Übertragen eine Konstruktion entwickelt, die Ben-Ari ebenfalls vorstellt. In späteren Kapiteln geht er ausführlich darauf ein, warum alle klassischen Konstruktionen allein mit dem Zirkel beziehungsweise mit dem (unmarkierten) Lineal und einem Kreis durchführbar sind. Das erste Kapitel enthält als Zusatz auch den (falschen) Beweis des Satzes: »Alle Dreiecke sind gleichschenklig.« Finden Sie vielleicht sogar den Fehler, ohne auf die Erklärung im Buch zurückzugreifen?

Weiter geht es mit den Problemen der Dreiteilung eines Winkels und der Quadratur des Kreises. Hier erhält man einen Überblick, welche Hilfsmittel im Laufe der Jahrhunderte zur (näherungsweisen) Konstruktion gefunden wurden (einschließlich der Neusis- und Quadratix-Konstruktionen). Auch der Kunst des Papierfaltens (Origami), den zugehörigen Axiomen sowie den Konstruktionen, die zwar nicht mit Zirkel und Lineal möglich sind, aber durch das Falten von Papier gelingen, widmet sich Ben-Ari.

Mathematik und Security

Kapitel 4 beschäftigt sich mit Färbungsproblemen und dem Beweis des Fünf-Farben-Satzes (der wesentlich einfacher ist als der Beweis des Vier-Farben-Satzes). Der folgende Abschnitt erklärt mit Hilfe von Färbungen anschaulich, wie viele Personen notwendig sind, um ein Museum zu überwachen – egal, wie dessen Räumlichkeiten gestaltet sind; die überraschend einfache Antwort wird hier nicht verraten.

Die Methode der vollständigen Induktion zählt seit etlichen Jahren (leider) nicht mehr zu den Themen, die in der Schule vermittelt werden. Die von Ben-Ari ausgewählten Anwendungen der Methode im Zusammenhang mit Fibonacci- und Fermat-Zahlen sind erstaunlich, und sogar das klassische Josephus-Problem lässt sich durch Induktion lösen.

Elegante Verfahren und Lösungen

Der Leser erfährt außerdem, wie quadratische (und kubische) Gleichungen auch geometrisch gelöst werden können – beginnend mit den Methoden Al-Khwarizmis und Cardanos bis hin zum verblüffenden Verfahren von Po-Shen Loh, dem amerikanischen Mathematiker, der ein knappes Jahrzehnt lang höchst erfolgreich Nationaltrainer des amerikanischen Teams für die IMO (»International Mathematical Olympiad«) war. Auch die Methode des österreichischen Mathematikers Eduard Lill (1830–1900) wird vorgestellt; sein graphisches Verfahren zur Lösung kubischer Gleichungen wirkt fast wie ein Zaubertrick.

Im Weiteren geht es um einfach erscheinende kombinatorische Fragestellungen, die mit der Ramsey-Theorie zusammenhängen, und eine (nachvollziehbare) Herleitung der Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks, dessen Entdeckung den 18-jährigen Gauß einst endgültig dazu veranlasste, sein Schaffen der Mathematik zu widmen. Auch untersucht wird die Frage, ob ein Dreieck durch Vorgabe des Flächeninhalts und des Umfangs eindeutig bestimmt ist.

Insgesamt passt der Titel des Buchs wunderbar zu seinen Inhalten. Dem Autor gelingt es in jedem Kapitel, seine Leser zum Staunen zu bringen. Das ausführliche Literaturverzeichnis gibt zahlreiche Anregungen für weitere Lektüre, Inhalts- und Stichwortverzeichnis helfen beim Wiederauffinden von Themen. Eine klare Empfehlung!