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Aufführung der Zahlen

Das neue Buch des Mathematikers Ian Stewart von der University of Warwick (England) ist auf den ersten Blick den Zahlen gewidmet. Es befasst sich mit kleinen und großen, negativen, irrationalen, komplexen, unendlichen Zahlen und vielen mehr. Wenn man es genau nimmt, geht es in dem Werk aber eher um Strukturen und Muster, in deren Zusammenhang bestimmte Zahlen auftauchen. Stewart selbst formuliert es treffend: "Die Zahlen sind Schauspieler [...], und das eigentlich Wichtige ist das Schauspiel selbst." Sein Ziel lautet, den Lesern solche spannenden Darbietungen näherzubringen.

Wenn es beispielsweise um gerade und ungerade Zahlen geht, bekommt der Leser die Aufgabe, die Summen von Quadratzahlen zu untersuchen. Schreibt man alle möglichen dieser Summen bis 100 hin, so fällt einem auf: Jede Summe, die einer Primzahl entspricht, ist um den Betrag 1 größer als ein Vielfaches von 4. Die Primzahl 29 etwa ist die Summe der Quadrate von 5 und 2 – und zugleich das Siebenfache von 4 plus 1. Hier und anderswo im Buch hat der Leser die wunderbare Möglichkeit, sich selbst in forschender Weise den Themen zu nähern. In diesem Fall geht es um eine spezielle Variante des 2-Quadrate-Satz des Mathematikers Pierre de Fermat (1607-1665), wonach jede Primzahl der Form 4x+1 die Summe zweier Quadrate ist. Natürlich muss dies auch für große Zahlen stimmen. Finden Sie die Quadrate zur Primzahl 4*1000+1=4001?

Multiplikation mit sich selbst

Stewart geht auch auf den allgemeinen 2-Quadrate-Satz ein: "Die Zahlen ungleich null, die die Summe zweier Quadratzahlen sind, [sind] genau diejenigen, für die jeder Primfaktor der Form 4x-1 in einer geraden Potenz auftritt." Dieses Zitat macht deutlich, dass das Buch nicht immer leichte Kost ist und stellenweise je nach mathematischer Vorbildung mehrfach "verdaut" werden muss. Allerdings liefert der Autor wichtiges Rüstzeug dafür immer mit. Begriffe wie "Primfaktor" (eine Primzahl, die ein Teiler einer Zahl ist) oder "Zweierpotenz" (eine Zahl wie 2, 4, 8, 16 und so weiter, die durch Multiplikation von 2 mit sich selbst entsteht), führt Stewart stets sorgfältig ein und bespricht sie.

Den 2-Quadrate-Satz begründet der Autor aber nicht weiter. Auch anderswo im Buch bleiben immer wieder Fragen offen. Und so läuft Stewart Gefahr, dass jenen unter seinen Lesern, die mathematisch vorgebildet sind, der Tiefgang fehlt – während Laien rasch an ihre Grenzen kommen dürften. Für alle interessant sind jedoch die historischen Exkurse, etwa zur Zahl Null oder zu Cäsars Geheimschrift, sowie die mathematisch-philosophischen Reflexionen zum Zahlbegriff.

Menge aller Mengen

Die Frage, was eigentlich eine Zahl ist, lässt sich gar nicht so einfach beantworten. Stewart erklärt den Vorschlag des deutschen Mathematikers Gottlob Frege (1848-1925), eine Zahl als eine bestimmte Menge von Mengen aufzufassen. Die Idee: Eine Menge mit sieben Tassen oder sieben Untertassen, die Menge der Wochentage oder die Menge der Zeichen 1 bis 7 – sie alle korrespondieren miteinander. Das heißt, man kann bei ihnen eine vollständige 1 : 1-Zuordnung angeben. Dem folgend würde man die Zahl 7 als die Menge aller Mengen definieren, die etwa mit der Menge der Wochentage korrespondiert. Der Autor erläutert, warum diese Idee als gescheitert angesehen werden muss, und zeigt auf, wie endliche Zahlen mit Hilfe der so genannten Leeren Menge "aus dem Nichts" konstruiert werden können.

Das Buch wagt einen Spagat zwischen leichten und komplexen, bekannten und weniger bekannten Themen. Der gelingt nicht immer. Die Übersetzung beispielsweise ist nur teilweise geglückt. Neben kleineren Tippfehlern stößt man auf Wortverwechslungen, etwa der Begriffe "Klasse" und "Menge", was das Verständnis erschweren kann. Da der Band aber sehr gut strukturiert ist, kann man bequem zwischen den Abschnitten springen und etwas für sich Passendes heraussuchen. Am Ende ist für jeden etwas Spannendes dabei.

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