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Die Tücken der Mittelwertbildung

Der Titel ist zwar zutreffend – es ist im Allgemeinen unbekömmlich, wenn man sich verrechnet –, aber falsch. Es geht in diesem Buch gar nicht um Rechenfehler. Vielmehr beschreibt Christian Hesse populäre Denkfehler: Zutreffende Aussagen, insbesondere korrekt berechnete Zahlen, werden falsch, wenn man beim Interpretieren nicht aufpasst.

Große Väter haben im Durchschnitt nicht ganz so große Söhne. Die Leistungen von Sportlern pflegen sich zu verschlechtern, nachdem sie auf der Titelseite einer renommierten Sportzeitschrift erschienen sind ("Sports Illustrated Cover Jinx"). Nach einem Lob fallen die Leistungen der Schüler ab, nach einem Tadel steigen sie an. Das stimmt alles, bedeutet aber nichts. Diese "Regression zum Mittelwert" ist ein statistisches Artefakt, das immer dann zu Stande kommt, wenn man eine extreme Auswahl aus der Gesamtheit betrachtet. In diese Teilgruppe – große Männer, Spitzensportler, gute Schüler – gerät nur, wer neben "haltbaren" Eigenschaften auch Glück gehabt hat. Bei der zweiten Datenerhebung – nächste Generation, nächstes Spiel, nächste Klausur – sind die haltbaren Eigenschaften noch da, aber das Glück mittelt sich zu Null aus; man betrachtet ja Durchschnittswerte.

Deswegen ist die Vorstellung, wir würden alle immer durchschnittlicher, verfehlt. Das geht schon daraus hervor, dass der Regressionseffekt symmetrisch ist: Große Söhne haben im Durchschnitt nicht ganz so große Väter.

Fallstricke der Statistik

Christian Hesse, Mathematikprofessor in Stuttgart und umtriebiger Autor populärwissenschaftlicher Bücher, beschreibt außerdem die Tücken der Mittelwertbildung. Jedermann addiert die Werte auf und teilt durch ihre Anzahl; aber häufig ist dieses "arithmetische Mittel" dem Einzelfall nicht angemessen und durch das geometrische Mittel (n-te Wurzel aus dem Produkt der n Werte) oder das harmonische Mittel (Kehrwert vom arithmetischen Mittel der Kehrwerte) zu ersetzen.

Weniger bekannt ist Simpsons Paradoxon: Die Universität hat 53 Prozent der männlichen Bewerber zum Studium zugelassen, aber nur 47 Prozent der weiblichen. Aber die eine Fakultät hat 80 Prozent der Frauen aufgenommen und nur 70 Prozent der Männer, und bei der anderen waren die Zulassungsquoten 50 (Frauen) und 40 Prozent (Männer). Handelt es sich um Diskriminierung? Und gegen welches Geschlecht? Das geht aus den Zahlen nicht hervor.

In einem Straßennetz wählt jeder Autofahrer den Weg, der ihn am wenigsten Zeit kostet. Dann wird eine neue Schnellstraße eröffnet, alle stellen sich auf die neue Situation ein – und benötigen durchweg mehr Zeit als zuvor. Umgekehrt lässt zuweilen die Sperrung einer Straße den Verkehr in ihrer Umgebung besser fließen. Das ist das nach Dietrich Braess benannte Paradoxon, das sogar in der Mechanik eine Entsprechung findet.

Das alles und noch etwas mehr beschreibt Hesse in kunstvollem Stil – etwas zu wortreich für meinen Geschmack, aber sachlich stets korrekt. Und gegen ein reichhaltiges Sortiment an Beispielen ist ja nichts einzuwenden.

41. KW 2014

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 41. KW 2014

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