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Der lange Weg zum Beweis

Regelmäßig werden Schüler mit den Keplerschen Gesetzen der Planetenbewegung traktiert. Dabei hat der deutsche Astronom und Mathematiker des 17. Jahrhunderts doch weitaus praktischeren Stoff zu bieten: zum Beispiel Schneeflocken oder Kanonenkugeln. Mit Letzteren kann man sogar ein 325-seitiges Buch füllen, wie es der ungarische Mathematiker George Szpiro vorgelegt hat. Was haben nun Kanonenkugeln mit Mathematik zu tun? Es geht schlicht darum, wie man Kugeln gleichen Durchmessers am platzsparendsten stapelt. Daran war insbesondere die englische Kriegsmarine, in Person von Sir Walter Raleigh, interessiert.

Wie so oft sind die einfachsten Fragen am schwierigsten zu beantworten. Kepler hat sich mit dem Problem eingehend befasst und im Jahr 1611 eine Vermutung über die dichteste Packung publiziert: Jede Kugel ist dabei auf regelmäßige Weise von zwölf anderen umgeben. Wie sich später zeigte, werden so 74,05 Prozent des Raumes ausgefüllt. Mehr geht nicht. Kepler lag also mit seiner Vermutung genau richtig – allerdings brauchten die Mathematiker 387 Jahre um sie zu beweisen! Viele Hindernisse, wie etwa das Problem der "dreizehnten Kugel", mussten dabei überwunden werden.

Sie ahnen schon, hier geht es nicht nur um Mathematik sondern auch um viele interessante Personen und Geschichten. Ein lohnender Stoff, der bei Szpiro meist locker daherkommt. Bisweilen wird es aber schwierig. Dann nämlich, wenn der Autor einen wichtigen Beweis einstreut. Hier wird viel Gehirnschmalz und räumliches Vorstellungsvermögen benötigt. Wer passen muss, sollte solche Absätze einfach überspringen und weiter lesen – es lohnt sich. Im Übrigen sind einige Details in den umfangreichen Anhang ausgelagert. Dort finden sich auch viele Literaturhinweise sowie ein gut strukturiertes Namens- und Sachverzeichnis. Mit Abbildungen (in schwarz-weiß) ist das Buch allerdings etwas sparsam.

Szpiro geht das Thema historisch und "dimensional" an. Was die geschichtliche Sicht angeht, so liefert er ein farbenfrohes Bild verschiedenster Charakteren. Es gibt Leute, die eher im Stillen arbeiten, eitle Besserwisser und Schaumschläger, verbissene Arbeiter und einen "Fürsten der Mathematik", dem die Erkenntnisse scheinbar mühelos zufliegen: Carl Friedrich Gauß. Dieser konnte 1831 die Keplerschen Vermutung für den Fall beweisen, das die Kugeln gitterförmig angeordnet sind. Mathematisch lässt sich der Autor von den Raumdimensionen leiten: Wie stapelt man "Kugeln" auf einer Linie, in einer Ebene, im drei- oder sogar mehrdimensionalen Raum? Selbst in zwei Dimensionen ist das Problem schwierig. Erst 1940 fand der Fejes Tóth die dichteste Packung von Kreisen. Der ungarische Mathematiker gab auch den entscheidenden Hinweis für den Kugelfall: Er sagte voraus, dass der Beweis nur mit Hilfe von Computern gelingen wird. Er sollte recht behalten.

Ruhm und Ehre, die Keplersche Vermutung in voller Allgemeinheit bewiesen zu haben, gebührt dem Amerikaner Tom Hales. Nach vielen Jahren Arbeit und diversen Rückschlägen war er im Jahr 1998 endlich am Ziel. Mathematisch gesehen ist sein Beweis leider nicht "schön", basiert er doch in seinem finalen Teil auf einem computergestützten Ausschlussverfahren. Zwar gab es kritische Ansichten zur Methodik, doch Hales' Ergebnis ist korrekt. Vielleicht werden die Mathematiker irgendwann mit einem einfacheren, analytischen Beweis befriedet.

George Szpiro ist es in seinem Buch gelungen, das komplexe Thema klar, kompetent und umfassend zu behandeln. Man bekommt einen Eindruck von der enormen Anstrengung und dem Zeitaufwand einen großen mathematischen Satz zu beweisen, auf den schon David Hilbert in seinem berühmten Vortrag über "Mathematische Probleme" im Jahr 1900 hingewiesen hatte. Zögern Sie nicht, das interessante Buch zu lesen, denn vielleicht ist bald die nächste Vermutung fällig. Wird es womöglich die "Riemannsche" sein?
20. KW 2011

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum - Die Woche, 20. KW 2011

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