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Der Goldene Schnitt und damit verbundene Erscheinungen

(Stephan Reitmeier)
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In der Mathematik bezeichnet der Goldene Schnitt eine geometrische Proportion (= Verhältnis).

Definition: "Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB teilt AB im Goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil."

Formelschreibweise: M(ajor) / m(inor) = a / M

M = größerer Teil, m = kleinere Teilstrecke, a = Gesamtstrecke

Das Verhältnis M / m hat den Wert (1+Ö5)/2 = 1,618 033 59... und wird im Allgemeinen t (=tau) genannt.

Beweis :

a / M = M / m| · mM
am = M2 | Setze ein: a = (m + M)
M / m + 1 = (M / m)2
(M / m)2 - M / m - 1 = 0 | quadratische Gleichung für (M / m) mit zwei Lösungen.

Die positive Lösung der Gleichung ist t.

Daraus ergeben sich zwei wichtige Formeln für t, die wir später immer wieder brauchen:

t2 = t+ 1
1 / t = 1 - t

Nach so viel Theorie sind hier zwei einfache Konstruktionsmöglichkeiten zum Selbstausprobieren.

1) Sei `AB eine Strecke mit der Länge a.

   a) Errichte das Lot in B mit `BC = a / 2.

   b) Kreis um C mit Radius `BC. Schnittpunkt mit AC ist D.

   c) Kreis um A mit r = `AD. Schnittpunkt mit AB ist S.

Konstruktion 1
 
2) Sei `AB eine Strecke mit der Länge a.

   a) Errichte das Lot in A mit `AC = a / 2.

   b) Kreis um C mit Radius `CB. Schnittpunkt mit AC ist D.

   c) Kreis um A mit r = `AD. Schnittpunkt mit AB ist S.

Konstruktion 2

Das Pentagramm

Der Goldene Schnitt selbst tritt am eindrucksvollsten beim regulären Fünfeck in Erscheinung: Alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß, nämlich 108°. Die Diagonalen sind ebenfalls gleich lang und teilen sich paarweise im Goldenen Verhältnis. Der längere Diagonalenabschnitt ist so lang wie eine Seite: Diagonale und Seite stehen im Verhältnis t zueinander.

Verlängert man die Seiten, bis sie sich schneiden, so entsteht das Sternfünfeck, auch Pentagramm genannt. Es ist (bis auf eine Spiegelung) die t2-fache Vergrößerung des Pentagramms, das aus den Diagonalen des ursprünglichen Fünfecks besteht.

Das gleichschenklige Dreieck, bei dem die Schenkel t mal so lang sind wie die Basis, nennt man goldenes Dreieck. Jede Sternspitze des Pentagramms ist ein goldenes Dreieck.

Das Rechteck mit dem Seitenverhältnis t / 1 heißt goldenes Rechteck. Beim regulären Ikosaeder (vgl. Platonische Körper von Natalie Wood) bilden zwei parallele Kanten jeweils die kurzen Seiten eines solchen Rechtecks.

Zur Historie des Goldenen Schnittes

Goldene-Schnitt-ZirkelVon einigen Historikern wird angenommen, dass die Pythagoreer - Anhänger der Schule des Pythagoras - im 5. Jahrhundert v. Chr. als erste mit Hilfe des Goldenen Schnittes inkommensurable Strecken entdeckten. Diese Strecken sind die geometrischen Äquivalente der irrationalen Zahlen.

Seit der Antike waren Künstler, Philosophen und Mathematiker vom Goldenen Schnitt fasziniert.

Dabei hatte er in der antiken Welt noch keinen Namen. Erst später wurde er dann mit "proportio habens medium et duo extrema" (das heißt so viel wie: "Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis") beschrieben.

Wegen des ästhetischen Eindrucks auf den Betrachter wird er in der Architektur usw. seit der Renaissance auch harmonische Teilung genannt.

Hippasos, der Sohn des Pythagoras, erforschte als einer der ersten den Zusammenhang mit dem Fünfeck. Die Pythagoreer maßen ihm geheimnisvolle Kräfte und Eigenschaften zu. So wurde auch das Pentagramm Symbol der Gesundheit und Zeichen der Bruderschaft.

Die symbolische Kraft des Pentagramms wird besonders im Mittelalter sichtbar. Der Drudenfuß galt als Hexenschutzzeichen und wird sogar in Goethes "Faust" aufgegriffen.

Für die Konstruktion verwendete man damals den sog. Goldenen Zirkel, ein mechanisches Instrument, mit dem man den Goldenen Schnitt bestimmen und überprüfen kann. Daher fand er vor allem in Schreinereien Verwendung.

Die Fibonacci-Folge

Eine andere enge Verbundenheit mit dem Goldenen Schnitt zeigt auch die Fibonacci-Folge. Der italienische Mathematiker Leonardo Fibonacci (1170-1240) wurde in Pisa geboren und erlernte in Algerien indische Zahlzeichen und arabische Berechnungsmethoden. Die Zahlen der nach ihm benannten Folge sind in der Mathematik weit verbreitet und finden sich auch in der Natur wieder, zum Beispiel beim Wachstum von Blattanlagen.

Definition: Eine Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied gleich der Summe aus den zwei vorhergehenden Gliedern ist: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, usw. Man veranschaulicht diese Folge besonders gern mit Kaninchen. Man betrachtet dazu die Nachkommenschaft eines Kaninchenpaares unter folgenden Voraussetzungen:

1) Jedes Kaninchen wird im Alter von 2 Monaten gebärfähig.

2) Jedes Paar bringt jeden Monat ein neues Paar zur Welt.

3) Alle Kaninchen leben ewig.

In Formeln: fn+2 = fn+1 + fn oder auch fn = fn-1 + fn-2. Damit lässt sich ausrechnen, wieviel Nachkommen ein Kaninchenpaar nach einer bestimmten Anzahl von Monaten hat. Diese Definition ist rekursiv, weshalb die Voraussetzung f1 = 1 und f2 = 1 zur vollständigen Definition nötig ist.

Was hat das aber mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Sehr viel, wie ihr bald sehen werdet.

Berechnet man den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder fn+1 / fn , so merkt man, dass sich dieser immer mehr an t = (1+Ö5)/2 annähert.

Der Goldene Schnitt tritt an verschiedenen Stellen in Natur, Architektur und Kunst auf.

Natur

Hier zeigen die Phyllotaxis (Blattanordnung) sowie die Verästelungen enge Verwandtschaft mit der harmonischen Teilung. "Der Goldene Schnitt ist das Grundprinzip aller, nach Schönheit drängenden Gestaltung im Reich der Natur, (...) der die vollkommene Realisation erst im Menschen erfahren hat." (A. Zeisnig)

Architektur/Kunst

Dieses Prinzip der Schönheit wurde u. a. in Bauwerken der Antike umgesetzt. Als Beispiel ist das Parthenon auf der Akropolis, bei dem sich Vorderfront, Kapitell und Gebälk in ein goldenes Rechteck einordnen, zu nennen (447-432 v. Chr. unter Perikles erbaut).

Die Königshalle in Lorsch (770 n. Chr.) sowie der Dom von Florenz sind Anwendungsbeispiele goldener Proportionen.

Trotzdem erlebte der Goldene Schnitt seine Blüte erst in der Renaissance, wo er neben der Architektur auch in der Malerei verwirklicht wurde. Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Georges Seurat oder auch Piet Mondrian sind nur eine kleine Zahl derer, die ihn in ihren Werken verewigten.

Möchte man jedoch alles ansprechen, müsste man auch Literatur, Musik, Medizin... und vieles mehr behandeln, wodurch man erkennt, wie dieses Prinzip doch jahrhundertelang bewusst oder intuitiv das Leben der Menschen bestimmte.

Literatur
A. Beutelspacher, B. Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996.
Ian Stewart: Sie liebt mich, sie liebt mich nicht. Spektrum der Wissenschaft, Mai 1996, S. 14.


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