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Parkettierungen und Muster

(Britta Späth)
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Über Parkettierungen und Muster haben vor allem Grünbaum und Shephard in ihrem Buch "Tilings and Patterns" geschrieben. Das Folgende ist vor allem dem 1. Kapitel aus diesem Buch entnommen.

Allgemeine Parkettierungen und Pflastersteine (Definitionen)

Es sollen hierbei nur die Parkettierungen (engl.: tilings) der euklidischen Ebene betrachtet werden. Eine Parkettierung der Ebene ist eine Menge von Pflastersteinen (tiles), die die Ebene ohne überlappungen oder Lücken bedeckt.

Ein Pflasterstein eines Musters muss durch eine endliche, geschlossene Linie begrenzt sein, die sich weder überschneidet noch mit sich selbst zusammenfällt. Somit sind die im Bild links oben gezeigten Formen als Pflastersteine ausgeschlossen.

Wenn die Schnittmenge mehrerer Pflastersteine in einem Muster nur aus einem Punkt besteht, nennt man diesen Punkt Scheitel oder Vertex (vertex). Die Anzahl der Pflastersteine, die in diesem Vertex zusammentreffen, nennt man die Ordnung (valence) dieses Vertex. Besteht die Schnittmenge zweier Pflastersteine aus einer Strecke oder allgemeiner aus einem Kurvenstück, so nennt man dieses eine Kante (edge). Ein Vertex muss aber nicht mit der Ecke eines Pflastersteins übereinstimmen, und die Kante eines Musters ist nicht unbedingt die Verbindung zweier benachbarter Ecken. So ist im Muster links unten im Bild der Punkt C ein Scheitel des Pflastersteins T3 und B kein Scheitel von T2 oder T.

Muster 1


Muster 3
Muster 2


Muster 4

Besteht die Schnittmenge zweier Pflastersteine aus mindestens einem Punkt, heißen die Pflastersteine Nachbarn (neighbours). In der Abbildung links unten sind daher die Pflastersteine T1, T2, T3,T4, T5, T6 und T7 Nachbarn von T. Besitzen zwei Pflastersteine eine gemeinsame Kante, bezeichnet man die Pflastersteine als aneinandergrenzend (adjacent ). T2, T3, T4 und T7 im Bild grenzen an T.

Einteilung von Mustern

Um die Muster einzuteilen, muss man zunächst Folgendes vorausschicken:

1) Kongruent heißen zwei Muster dann, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (Verschiebung, Spiegelung, Drehung und Gleitspiegelung) zusammenfallen können.

2) ähnlich heißen zwei Muster, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung und eine Vergrößerung oder Verkleinerung zum übereinstimmen gebracht werden können.

Nur scheinbar einfach sind vor allem Muster, die aus vielen Exemplaren eines einzigen Grundbausteins (prototile) bestehen. Diese Parkettierungen nennt man einsteinig (monohedral ); wenn verschiedene Grundbausteine verwendet werden, n-steinig (n-hedral).

Wenn ein Grundbaustein nur eine Parkettierung zulässt, nennt man das entstehende Muster monomorph. Können n verschiedene Muster mit einem Grundbaustein gebildet werden, nennt man das Muster n-morph. Ein Beispiel für ein monomorphes Muster ist im Bild oben rechts gezeigt.

Muster 5 Muster 6 Muster 7 Muster 8
abcd

Hingegen können die in Abbildung a verwendeten Pflastersteine unendlich viele verschiedene Muster bilden: Zwischen den dicken parallelen Linien können die Rauten zwei verschiedene Neigungen gegenüber der Linie einnehmen. Da diese dicken Linien unendlich oft in diesem Muster vorkommen, entstehen unendlich viele (sogar überabzählbar viele) Muster.

Ebenso wie durch die Form können aber die Anordnungsmöglichkeiten auch dadurch begrenzt sein, dass man nur Parkettierungen zulässt, die eine begrenzte Anzahl von Fünfecken benutzen. So sind nur noch die in Abbildung b, c und d gezeigten Muster möglich, wenn man nur eine endliche Anzahl von Fünfecken zulässt.

Abbildungen des Musters und Element des Pflastersteins

Muster weisen auch verschiedene Symmetrien auf. Eine Symmetrie muss das Muster so abbilden, dass Bild und Abbild übereinstimmen. Wenn eine Drehung um 2p/n (den n-ten Teil des Vollwinkels) zu den Symmetrien gehört, dann gilt das auch für die Vielfachen dieses Winkels. Man spricht von einer n-zähligen Symmetrie. Außerdem sind noch Spiegelungen, Gleitspiegelungen und Verschiebungen als Symmetrien des Musters möglich. Muster, die Verschiebungen als Symmetrien haben, können darüber hinaus nur noch 1-, 2-, 3-, 4- oder 6-zählige Symmetrien besitzen. Zu den Symmetrien eines Musters zählt man auch noch die Identität. Alle Symmetrien eines Musters können in einer Symmetriegruppe zusammengefasst werden.

Die Ordnung der Symmetriegruppe bezeichnet die Anzahl ihrer Elemente. Als symmetrisch werden Muster dann bezeichnet, wenn die Symmetriegruppe nicht nur aus der Identität besteht. Periodisch nennt man Muster immer dann, wenn die Symmetriegruppe Verschiebungen um zwei linear unabhängige Vektoren a und b enthält.

Muster 9 Zwei Pflastersteine T1 und T2 werden dann als äquivalent bezeichnet, wenn eine Symmetrie des Musters T1 auf T2 abbildet. Wenn k Pflastersteine äquivalent sind, nennt man das Muster isohedral. Gibt es jedoch k Klassen äquivalenter Pflastersteine, nennt man das Muster k-isohedral.

Entsprechend nennt man ein Muster isogonal, wenn man jeden Vertex mit Hilfe einer Symmetrie des Musters auf einen bestimmten Vertex abbilden kann. Kann jede Kante auf jede andere mit Hilfe der Symmetrien des Musters abgebildet werden, nennt man das Muster isotoxal.

Als regulär werden isotoxale, isogonale und isohedrale Muster nur dann bezeichnet, wenn, wie im Bild gezeigt, zwei beliebige Pflastersteine mit einem beliebig markierten Vertex und einer markierten, angrenzenden Kante aufeinander mit einer Symmetrie des Musters abgebildet werden. Das Bild zeigt oben ein isotoxales, isogonales und isohedrales Muster und unten ein reguläres Muster. Es gibt nur drei Pflastersteine, die ein reguläres Muster zulassen: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das reguläre Sechseck.

Symmetrien

Bei Verschiebungen ist zu beachten, dass alle auftretenden Verschiebungsvektoren ganzzahlige Linearkombinationen von nur zwei sogenannten Basisvektoren a und b sind: Jeder Vektor einer Verschiebungssymmetrie ist von der Form ma + nb mit ganzen Zahlen n und m. Daher kennzeichnet man bei Mustern die Verschiebungen, indem man nur a und b einzeln angibt. Wenn zwei Muster (im Wesentlichen) dieselbe Symmetriegruppe haben, ordnet man sie in denselben Symmetrietyp ein. Bei den Pflastersteinen, die wie oben definiert werden, gibt es 7 Symmetrietypen mit nur einer und 19 mit zwei Verschiebungsrichtungen.

Muster 11 Sucht man sich einen bestimmten Punkt in einem periodischen Muster und bildet diesen mit allen ganzzahligen Linearkombinationen der Vektoren a und b ab, so ist der abgebildete Punkt immer in derselben Lage bezüglich der dort benachbarten Pflastersteine. Da ebenso wie der Punkt auch der ganze Inhalt eines durch Gitterpunkte gebildeten Parallelogramms mit a und b verschoben wird, muss man lediglich den Inhalt dieses Parallelogramms wissen, um das ganze Muster zu erschließen. Ein Punkt und seine sämtlichen Bilder unter Verschiebungen mit ma + nb bilden ein Gitter. Im Bild ist ein solches Gitter innerhalb eines Musters gezeigt.

Quelle: Branko Grünbaum, G. C. Shephard: Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company, New York 1987. Kapitel 1 (p.16-56).

Gruppen

(Christoph Pöppe)

Wo von Symmetrien die Rede ist, da ist der Gruppenbegriff meistens nicht weit. Was ist eine Gruppe?

Das Lehrbuch gibt ungefähr folgende Auskunft: Eine Menge G heißt eine Gruppe, falls eine Verknüpfung existiert, die je zwei Elementen a, b der Gruppe ein drittes Element der Gruppe zuordnet, das dann ab geschrieben wird. Man denkt sich die Verknüpfung in der Regel als Multiplikation, schreibt auch gelegentlich a · b statt ab. In anderen Zusammenhängen denkt man sich die Verknüpfung als Addition und schreibt sie a + b. Das Schöne an der Gruppentheorie ist, dass man sich nicht groß drum kümmern muss, was die Verknüpfung eigentlich ist, solange sie die Gruppenaxiome (Rechenregeln, s. u.) erfüllt. Auf die Weise sieht man Gemeinsamkeiten zwischen Strukturen, die eigentlich völlig verschieden sind. Weiter im Lehrbuch:

"Die Verknüpfung ist assoziativ: (ab)c = a(bc)."

Diese Bedingung ist meistens geschenkt. Es gibt kaum eine Verknüpfung, die nicht assoziativ ist. Aufpassen: Kommutativität wird nicht verlangt. ab ist im allgemeinen nicht dasselbe wie ba.

"Die Gruppe enthält ein neutrales Element e, das heißt ea = ae = a für alle Gruppenelemente a."

"Zu jedem Gruppenelement a gibt es ein Gruppenelement b mit der Eigenschaft ab = ba = e. b heißt das Inverse zu a und wird a-1 geschrieben."

Die einfachsten Gruppen bestehen aus Zahlen: Die ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung sind eine Gruppe. Man schreibt natürlich 0 statt e für das neutrale Element und -a statt a-1 für das Inverse. Die rationalen (oder auch die positiven rationalen, die rellen, die komplexen ...) Zahlen unter Ausschluss der Null sind eine Gruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung. Das neutrale Element heißt 1, das Inverse zu a ist 1/a.

Das ist schon ganz nett; aber meistens bestehen Gruppen aus Abbildungen, und die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung zweier Abbildungen. Das neutrale Element gibt's immer, das ist nämlich die identische Abbildung. Damit das inverse Element existiert, muss die Abbildung widerruflich (invertierbar) sein.

Zum Beispiel sind die invertierbaren (n × n)-Matrizen eine Gruppe. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix, und die Inverse zu einer Matrix A schreibt man A-1. Oder: Alle Drehungen in der Ebene um den Nullpunkt bilden eine Gruppe. Sie ist ganz in der vorigen Gruppe (für n = 2) enthalten, denn alle Drehungen sind widerrufliche Matrizen: Sie ist eine Untergruppe. Alle Abbildungen, die ein bestimmtes Muster invariant lassen (es mit sich selbst zur Deckung bringen), bilden eine Gruppe. (Nachprüfen! Geht schnell und tut nicht weh.)

Aufpassen mit der Schreibweise: Wenn A und B Abbildungen sind, dann ist AB die Abbildung "erst B anwenden, dann A". Was soll der Quatsch? Na ja, man wendet eine Abbildung ja immer auf irgendwas an, einen Punkt x zum Beispiel. Erst B auf x anwenden ergibt B(x), was man gerne kurz als Bx schreibt (vor allem wenn x ein Vektor ist und B eine Matrix). Auf das Ergebnis A anwenden gibt A(Bx) oder auch ABx, also ist es naheliegend, die zusammengesetzte Abbildung AB zu nennen, auch wenn es einem erstmal falschrum vorkommt.

Es ist eine beliebte übung, die merkwürdigsten Dinge, zum Beispiel Muster (siehe oben) oder Kristalle (siehe unten) durch die Gruppe der Transformationen zu charakterisieren, die das jeweilige Ding unverändert (invariant) lassen. (Kleine Randbemerkung: So ein Ding kann auch eine komplette physikalische Theorie sein. Die klassische Mechanik ist invariant gegenüber Translationen und Rotationen des Raumes. Daraus kann man mit Hilfe der Gruppentheorie so physikalische Prinzipien wie den Impuls- und den Drehimpulserhaltungssatz herleiten! Das meinen die theoretischen Physiker, wenn sie das Stichwort "Noetherscher Satz" fallenlassen.) Ist ein Muster sehr symmetrisch, hat es eine große Symmetriegruppe. Bricht man seine Symmetrie, zum Beispiel indem man den Grundbaustein mit einer geeigneten Macke versieht, ist die Symmetriegruppe nur noch eine Untergruppe der ursprünglichen. Das geht runter bis zur trivialen Gruppe, die nur noch aus dem neutralen Element besteht. Es gibt also eine ganze Hierarchie (so eine Art Familienstammbaum) von Gruppen und Untergruppen, was einem sehr zum Verständnis der jeweiligen Dinge hilft.

Die Gruppentheorie kümmert sich erstmal nicht darum, ob eine Gruppe endlich oder unendlich viele Elemente hat. Wenn es aber endlich viele sind (zum Beispiel alle Drehungen um Vielfache von 60 Grad), kann man ziemlich viele Schlüsse aus der Ordnung der Gruppe (das ist die Anzahl ihrer Elemente) ziehen. Die Ordnung einer Untergruppe ist nämlich ein Teiler der Ordnung der Gruppe. Das schränkt die Möglichkeiten einer Gruppe, Untergruppen zu haben, schon ziemlich ein. Eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, hat keine Untergruppen außer der trivialen! Meistens gilt auch die Umkehrung: Wenn die Gruppenordnung einen echten Teiler k hat, gibt es auch eine Untergruppe der Ordnung k.

Mit Hilfe der Gruppentheorie kriegt man so Dinge raus wie, dass es nur 17 kristallographische Gruppen in der Ebene gibt.


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