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Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen

(Matthias Klotz)
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Eine wichtige Stelle in der heutigen Physik nimmt die Beschreibung von dreidimensionalen reaktiven Strömungen in Flüssigkeiten und Gasgemischen ein. Das Ziel dieses Textes besteht im Wesentlichen darin, physikalische Gesetze, die derartige Vorgänge beschreiben, in Differentialgleichungen auszudrücken: in den sogenannten Navier-Stokes-Gleichungen. Dabei handelt es sich bei diesen Gesetzen um die drei Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie

Im Folgenden stelle ich eine allgemeine Erhaltungsgleichung auf, um sie dann auf die Spezialfälle für jene drei physikalischen Größen anzuwenden. Dabei stellt man sich ein gasgefülltes Volumen als Kontinuum vor, was wegen der großen Anzahl der in ihm vorhandenen Moleküle auch gerechtfertigt ist. Dies ermöglicht den Umgang mit infinitesimalen Größen: Differentialquotienten und Integrale.

Man denke sich einen beliebig geformten Bereich W im dreidimensionalen Raum mit dem Volumen V und dessen Rand ¶W mit der Oberfläche S, der stückweise stetig differenzierbar sein soll. Zu jedem Zeitpunkt t lässt sich eine physikalische Größe F(t) für W (z. B.: Gesamtmasse, Gesamtimpuls, ...) angeben. Man kann sie außerdem mit Hilfe der ihr zugehörigen Dichten f(r, t) beschreiben (mit r = Ortsvektor), indem man nämlich über W integriert (mit Dichte ist nicht zwingend die Massendichte gemeint, sondern die Größe F(t) pro Volumen):

F(t) = ó
õ


W
f(r, t) dV

Zur Verbesserung der Lesbarkeit werde f(r, t) nur noch als f dargestellt. Man vergesse also nicht, dass f von der jeweiligen Stelle im Bereich W und von der Zeit t abhängig ist. Die Änderung der Größe F mit der Zeit t wird durch folgenden Ausdruck beschrieben:

F
t =
ó
õ


W
f
t
dV

Eine derartige Änderung kann durch drei verschiedene Prozesse stattfinden:

1.) Die Größe F strömt durch die Oberfläche in das Volumen hinein oder aus ihm heraus. Die Strömung selbst wird durch einen Vektor namens Stromdichte beschrieben: Ff gibt an, wieviel von der Größe F pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit strömt. Bei der Strömung durch die Oberfläche ¶W kommt es nur auf den Anteil von Ff an, der senkrecht zur Oberfläche durchfließt; deswegen bildet man das Skalarprodukt Ff · n, wobei n die äußere Normale ist, d. h. der Vektor der Länge 1, der senkrecht auf der Oberfläche steht und nach außen zeigt. Dabei wird das Skalarprodukt negativ, wenn der Vektor Ff auf die Oberfläche von W zeigt. Eine Veränderung der Dichte auf das Innere von W bezogen ist also durch -Ff · ndS gegeben.

2.) Im Inneren des Gebietes W liegt eine Quelle (bzw. Senke) von F. So beschreibt man z. B. chemische Reaktionen: Bei der Verbrennung gibt es eine Senke für Sauerstoff und Brennstoff und eine Quelle für (u. a.) Kohlendioxid. Dargestellt wird das durch einen Quellterm qf im Inneren des Volumenelementes, wobei qf die pro Zeit t und Volumeneinheit gebildete Menge an F beschreibt.

3.) Fernwirkung (z. B. Gravitation oder Wärmestrahlung) beeinflussen von außerhalb das Innere von W, zu beschreiben durch einen Fernwirkungsterm sf, der für die pro Zeit und Volumeneinheit gebildete Menge an F steht.

Für die einzelnen Prozesse ergibt sich jeweils die Änderung für F durch jeweilige Integration über die Oberfläche von ¶W bzw. über W selbst. Die gesamte Änderung von F pro Zeit t ergibt sich durch Summieren der einzelnen Integrale:

dF
dt
= ó
õ


W
f
t
dV = - ó
õ


¶W
Ff · ndS + ó
õ


W
qfdV + ó
õ


W
sfdV

Man möchte das Integral über ¶W in ein Integral über W selbst umformen. Dazu nutzt man den Gauß'schen Integralsatz: Der Fluss von Ff über ¶W ist gleich dem Volumenintegral von divFf über W. Das ist nichts Mystisches! Man drückt die Randwerte einer Funktion aus durch ein Integral über die Ableitung der Funktion im Inneren: f(b) - f(a) = òab f¢(x) dx. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung! Dasselbe in mehreren Dimensionen ist natürlich ein bisschen komplizierter. Hieraus folgt:

ó
õ


W
f
t
dV + ó
õ


W
divFf dV = ó
õ


W
qf dV + ó
õ


W
sf dV

Das Gebiet W wurde zu Anfang unbestimmt gewählt. Wir haben hier also eine Gleichung für Integrale unabhängig vom Integrationsgebiet. Das ist jedoch nur dann möglich, wenn bereits die Integranden gleich sind:

f
t
+ divFf = qf + sf

Das ist die allgemeine Erhaltungsgleichung, die ich im Folgenden für Masse, Impuls und Energie an Stelle von F anwende.

Erhaltung der Gesamtmasse

Die Größe F ist in diesem Fall durch die Gesamtmasse m des Systems gegeben. Die entsprechende Dichte fm ist die Massendichte r, die Massenstromdichte Fm ergibt sich als Produkt aus der Strömungsgeschwindigkeit v und der Dichte r (denn je größer die Geschwindigkeit, desto mehr fließt pro Zeit t, entsprechend gilt dies für die Dichte). Masse kann weder durch Quellen im Inneren von W noch durch Fernwirkung entstehen. Somit sind qm und sm beide 0. Durch Einsetzen in die allgemeine Erhaltungsgleichung erhält man die Massenerhaltungsgleichung:

r
t
+ div(rv) = 0

Erhaltung des Impulses

Die Größe F ist in diesem Fall durch den Gesamtimpuls des Systems gegeben. Die entsprechende Dichte fmv ist die Impulsdichte rv, die Impulsstromdichte Fmv (hier ein Tensor) ergibt sich zu Fmv = rv Ä v + p=. Dabei bezeichnet rv Ä v den konvektiven Anteil und p= die Impulsänderung durch Druck- und Reibungskräfte (hydrostatischer und viskoser Anteil). Unter der Viskosität eines Gases bzw. einer Flüssigkeit hat man sich also seine Zähigkeit vorzustellen (die innere Reibung). Das dyadische Produkt v Ä v ergibt folgenden Tensor:

v Ä v = æ
ç
è
v1v1
v2v1
v3v1
v1v2
v2v2
v3v2
v1v3
v2v3
v3v3
ö

ø
   mit v = æ
ç
è
v1
v2
v3
ö

ø

Der Drucktensor p= ergibt sich empirisch aus einer großen Anzahl von Untersuchungen:

p= = pE= + P=

Dabei ist E]= der Einheitstensor und p der hydrostatische Druck. Während pE= den hydrostatischen Anteil von p= beschreibt, tut P= dies für den viskosen Anteil. Aus der kinetischen Theorie für verdünnte Gase ergibt sich weiterhin der Zusammenhang:

P= = - m[(grad v) + (grad v)T] + (2/3m - k) (div v) E=

Während m (my) für die mittlere dynamische Viskosität steht, bezeichnet k (kappa) die Volumenviskosität. Für einatomige Gase gilt k = 0.

Der Ausdruck grad v ist ein Tensor:

grad v = æ
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
v1
x
v2
x
v3
x
v1
y
v2
y
v3
y
v1
z
v2
z
v3
z
ö








ø
   mit v = æ
ç
ç
è
v1
v2
v3
ö


ø

Der Term (grad v)T ist der transponierte Tensor von grad v. Er entsteht durch eine Vertauschung von Zeilen und Spalten.

Der Quellterm qmv ist 0, da im Inneren des Systems keine Kräfte entstehen, die eine Impulsänderung zur Folge hätten. Es existiert jedoch eine Fernwirkung smv, nämlich die Gravitationskraft pro Volumen, was durch rg gegeben ist. Durch Einsetzen in die allgemeine Erhaltungsgleichung erhält man die Impulserhaltungsgleichung:

 (rv)
t
+ div(rv Ä v) + div p= = rg

Erhaltung der Energie

Die Größe F ist in diesem Fall durch die gesamte Energie des Systems gegeben, d. h. durch die Summe aus der potentiellen, der kinetischen und der inneren Energie (kinetische Energie: Schwerpunktsbewegung der Moleküle bzw. Translation; innere Energie: Schwingung und Rotation der einzelnen Moleküle). Die entsprechende Dichte fe ist somit die Energiedichte re, wobei e für die jeweilige spezifische Gesamtenergie steht (d. h. Energie pro Masse). Da re für die Energie pro Volumen steht und da diese sich aus den oben genannten drei Energieformen zusammensetzt, gilt:

re = ru + 1/2r|v|2 + rG

Dabei steht u für die spezifische innere Energie, G für das Potential der Energie (potentielle Energie pro Masse). Die Energiestromdichte Fe (hier wieder ein Vektor) ergibt sich zu Fe = rev + p=v + jq. Der Ausdruck rev steht analog zu den vorherigen Erhaltungsgleichungen für den konvektiven Anteil, p=v hingegen beschreibt die Reibungsarbeit, die aufgrund der Viskosität verrichtet wird. Die Wärmestromdichte ist durch jq gegeben, was den Energietransport durch Wärmeleitung beschreibt. Sie ergibt sich zu jq = - l grad T, wobei l für den Wärmeleitfähigkeitskoeffizient, T für die Temperatur steht. Der Vektor grad T zeigt in die Richtung, in der (in der Umgebung) die Temperatur am stärksten ansteigt. Ein Energietransport findet also in die entgegengesetzte Richtung statt, wodurch das Minuszeichen im Ausdruck - l grad T zu Stande kommt. Der Quellterm qe ist 0, da im Inneren des Systems keine Energie entsteht. Es existiert jedoch eine Fernwirkung se, die nämlich in der Wärmestrahlung liegt. Sie ist durch qr gegeben, was die Wärmeproduktion pro Volumen und Zeit beschreibt. Es gilt also [qr] = Jm- 3s-1 (d. h. qr hat die Dimension Joule pro Kubikmeter und Sekunde). Durch Einsetzen in die allgemeine Erhaltungsgleichung erhält man die Energieerhaltungsgleichung:

(re)
t
+ div(rev + p=v - l grad T) = qr

Das Gleichungssystem für die Navier-Stokes-Gleichungen

Die nun drei aufgestellten Differentialgleichungen zum Berechnen von Strömungen (Masse-, Impuls- und Energieerhaltungsgleichung) lassen sich wie folgt in einem Gleichungssystem zusammenfassen:


t
æ
ç
è
r
rv
re
ö

ø
+ div æ
ç
è
rv
r Ä v + p=
rev + p= - l grad T
ö

ø
= æ
ç
è
0
rg
qr
ö

ø

Literatur

Jürgen Warnatz und Ulrich Maas: Technische Verbrennung, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1993, S. 135-143: Kapitel 11


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