Norbert Treitz

Ergänzungen zu Torricellis 5. Mittelpunkt des Dreiecks

Nummern mit X bezeichnen Mittelpunkte aus Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers, Bezeichnungen wie T1 usw. sind gedächtnisfreundliche Namen für Zaungäste wie Sie und ich.
Definitionen, die Sie hier vermissen, finde Sie in der englischen Wikipedia, in dem Websites von Weisstein und in denen von Quim Castellsaguer. Beachten Sie bitte, dass im Deutschen z.T. noch ältere abweichende Bezeichnungen benutzt werden, insbesondere Steiner-Punkt für den 1. Fermat-Torricelli-Punkt und Feuerbach-Punkt für den Mittelpunkt des Neunpunktekreises statt für dessen Berührpunkt mit dem Inkreis.

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Kegelschnitte und die isogonale Abbildung

Torricelli, Napoleon & Co.
- - Torricelli antwortet Fermat: 1. Torricelli-Punkt T1 = X13
- - Der 2. Torricelli-Punkt
- - Lester-Kreis
- - Satz von Napoleon
- - 1. Napoleon-Punkt N1 = X17
- - 2. Napoleon-Punkt N2 = X18
- - Einige Geraden für Torricelli & Napoleon
- - Vecten-Punkte V1, V2
Die Kiepert-Hyperbel
Isogonale Abbildungen
- - Satz von Grebe
Weitere rechtwinklige Hyperbeln
- - Die Jerabek-Hyperbel
- - Die Feuerbach-Hyperbel
Weitere Kegelschnitte
- - Macbeath-In-Kegelschnitte
- - Steiner-Ellipsen

Kegelschnitte und isogonale Abbildung

Um- und Inkreise sind nur besonders einfache Fälle von Kegelschnitten, die durch die drei Ecken eines Dreiecks gehen oder ihre drei Seiten berühren. Natürlich gibt es sehr viele Um- und In-Ellipsen für ein Dreieck, aber jeweils nur eine (gleichermaßen nach Steiner benannte) mit dem Schwerpunkt des Dreiecks als Mittelpunkt von Steiner Um- bzw. In-Ellipse.

Rechtwinklige Um-Hyperbeln gehen stets durch den Höhenschnittpunkt, sind aber dadurch noch nicht festgelegt. Über die isogonale Abbildung (vgl. 2.3) hängt jede rechtwinklige Hyperbel mit einer Geraden zusammen.

Torricelli, Napoleon & Co.

Torricelli antwortet Fermat T1 X13

Pierre de Fermat fragte nach dem Punkt im Dreieck, für den die Summe der Entfernungen zu den Ecken minimal ist. Torricelli fand die Lösung. Steckt man drei Fäden mit gleichen Gewichten durch drei Löcher in einem (dünnen) Brett an den Ecken des fraglichen Dreiecks und knotet sie mit den oberen Enden zusammen, so findet der Knoten ganz von selbst (d.h. im homogenen Schwerefeld, etwas Rütteln macht die Reibung unwirksam) den gesuchten Punkt, denn die in der Ebene des Dreiecks liegenden Teile der Fäden sind genau dann minimal, wenn der herunterhängenden Teile zusammen maximal lang sind, und dafür sorgt die Minimalisierung der potenziellen Energie.

Da alle drei Fäden gleich stark gespannt sind, bilden sie um den Knoten herum drei gleiche Winkel, also je 120o. Hat das Dreieck keinen größeren Innenwinkel, so hat der "isogonale" (gleichwinklige) Punkt die von Fermat gesuchte Minimaleigenschaft.

Setzt man außen an das Dreieck A1A2A3 drei gleichseitige Dreiecke mit den neuen Ecken t1 t2 t3, so sieht jeder Punkt auf den im Inneren von A1A2A3 liegenden Bögen die Seiten A1A2 usw. unter gleichen Winkeln, die Umkreise der gleichseitigen Dreiecke schneiden sich alle in einem Punkt T1 (sie bräuchten hierfür nur bei t1 usw. 60o zu haben, ohne gleichseitig zu sein).

Sind sie aber gleichseitig, so treffen sich auch die Ecktransversalen A1t1 usw. in dem isogonalen Punkt T1 und sind gleich lang, nämlich so lang wie die gesuchte minimale Entfernungssumme: A1t1 = A2t2 = A3t3.

Hat das Dreieck einen Winkel größer als 120 Grad, so teilen die Ecktransversalen A1t1 usw. den Vollwinkel um ihren Schnittpunkt T1 nach wie vor in sechs gleiche Teile, aber die Entfernungseigenschaft besteht nicht mehr.

Im Grenzfall hat genau die Ecke mit den 120 Grad die kürzeste Entfernungssumme zu allen drei Ecken:

Man kann wegen des Umfangswinkelsatzes bei der Konstruktion mit dem Schnitt der Kreise statt der gleichseitigen Dreiecke irgend welche andere mit dem gleichen Winkel von 60 Grad an der äußeren Ecke nehmen, man kann sogar auf unendlich viele Weisen deren neue Seiten zu einem großen Dreieck zusammenfügen, das dabei notwendigerweise gleichseitig ist:

Das führt zu einem Porismus (Schließungssatz): Geht man von einem Punkt B1 auf dem Außenbogen einer der drei Umkreise über eine Ecke z.B. A2 bis zum nächsten Außenbogen usw., so schließt sich das zu einem gleichseitigen Dreieck B1B2B3. Die roten Geraden deuten ein zweites Beispiel an.

Dieser Porismus wird auch in der folgenden Animation gezeigt:

Der 2. Torricelli-Punkt T2 X14

Klappt man die drei gleichseitigen Punkte nach innen statt nach außen, so dass sie sich mehr oder weniger überlappen, bekommt man einen zweiten zentralen Punkt T2 des Dreiecks, in dem sich die Geraden A1t1 usw. auch wieder treffen und sechs gleiche Winkel bilden, sogar die Strecken A1t1 = A2t2 = A3t3 (mit den jetzt anders liegenden t1 usw.) sind wieder gleich lang:

Lester-Kreis

Der Satz von June Lester (1997) sagt: Die beiden (Fermat-) Torricelli-Punkte T1 und T2 liegen auf einem Kreis mit den Mittelpunkten Um und Ne von Umkreis und Neunpunktekreis:

Satz von Napoleon

Napoleon fand (als Erster?) dass die Mittelpunkte der äußeren gleichseitigen Fermat-Torricelli-Dreiecke ein gleichseitiges Dreieck bilden, das 1. Napoleon-Dreieck. Ebenso bilden auch die Mitten der nach innen geklappten Dreiecke eins, das 2. Napoleon-Dreieck. Die Flächeninhalte beider unterscheiden sich um den Inhalt des Bezugsdreiecks (das selbst keine besondere Symmetrie haben muss).

Beide Napoleon-Dreiecke haben gleichermaßen den Schwerpunkt Gv des Bezugsdreiecks A1A2A3 als Mittelpunkte (und damit auch als Schwerpunkte).

Napoleon-Parkettierung

In Anlehnung an und zum Beweis von Napoleons Satz kann man die Ebene mit gleichseitigen Dreiecken von dreierlei Größen und der gleichen Gesamtzahl von i.A. ungleichseitigen aber untereinander gleichsinnig deckungsgleichen Dreiecken auslegen. Die Mittelpunkte der gleichseitigen bilden dabei ein gleichseitiges Dreiecksraster, je sechs Dreiecke (von jeder gleichseitigen Sorte eines und von der anderen drei) bilden zusammen eine achteckige Elementarzelle, die man in beiden Dimensionen der Ebene unendlich oft wiederholt:

Für stumpfe Dreiecke geht das auch:

Aber für Dreiecke mit einem Winkel von 120 Grad vereinfacht sich die Elemetarzelle zu einem Sechseck oder sogar (bei geschickter Wahl) zu einem Parallelogramm:

Zerschneidet man die Ebene entlang der schwarzen Geraden in gleichseitig-dreieckige Puzzle-Steine, so gibt es davon nur zwei verschiedene (und zwar mit und ohne Ecken), die sich in dreierlei Orientierungen abwechseln. Sie sind mitsamt der Färbungen innerhalb jeder der beiden Sorten deckungsgleich, wenn man von der farblichen Hervorhebung einer Elementarzelle in unseren Bildern absieht.

Der 1. Napoleon-Punkt N1 = X17

Nun kann man Ecktransversalen nicht nur durch die äußeren Ecken der angefügten gleichseitigen Dreiecke zum Schnitt bringen wie für den 1. (Fermat-) Torricelli-Punkt, sondern auch die durch die Mittelpunkte, oder was dasselbe ist: man fügt gleichschenklige Dreiecke mit 30 (statt 60) Grad Basiswinkel an. Wenn diese nach außen angesetzt werden, gibt es einen Schnittpunkt N1 = X17 der Ecktransversalen.

Der 2. Napoleon-Punkt N2 = X18

Entsprechend kann man die Dreiecke auch wieder nach innen anfügen (mit einiger Überlappung) und bekommt den 2. Napoleon-Punkt N2 = X18.

Einige Geraden für Torricelli & Napoleon

Zu vier Punkten kann man drei Paare von Geraden auswählen und jeweils deren Schnittpunkte suchen. Für die beiden Torricelli- und die beiden Napoleon-Punkte (Index 1 wie stets für außen angelegte Dreiecke, 2 für innen) sind das drei sehr prominente Punkte: T1N1 und T2N2 schneiden sich im Umkreismittelpunkt, "überkreuz" T1N2 und T2N1 dagegen im Mittelpunkt des Neunpunktekreises. Die Gerade durch beide Torricelli-Punkte T1T2 und die durch beide Napoleon-Punkte N1N2 treffen sich im Symmedianpunkt Sy (der auch nach Lemoine oder nach Grebe benannt wird):

Nimmt man die isogonalen Bildpunkte iN1 und iN2 der Napoleon-Punkte hinzu, so gibt es zwei Geraden, durch je drei dieser Punkte, die sich im Neunpunktekreis-Mittelpunkt Ne treffen:

Nimmt man noch die isodynamischen Punkte D1 und D2 hinzu, die man als isogonale Bildpunkte zu den Torricelli-Punkten definieren kann, weiter die beiden Ähnlichkeitspunkte zu In- und Ankreis X55 (innerer) bzw. X56 (äußerer) sowie die mit dem Feuerbach-Satz zusammenhängenden Punkte Fb (X11, Berührpunkt von In- und Neunpunkte-Kreis und X12 (Schnitt der Ecktransversalen durch die Berührpunkte des Neunpunktekreises mit je einem Ankreis), so gibt die in den folgenden - unterschiedlich vollständigen und vergrößerten - Bildern gezeigten (durchgezogenen) Geraden durch je drei der genannten Punkte, einschließlich Höhenschnittpunkt Hö und Schwerpunkt Gv. Zusätzlich sind gestrichelt die Euler-Gerade (durch Ho, Ne, Gv und Um) und die gemeinsame Symmetriegerade von In- und Umkreis (auf der also auch X55 und X56 liegen) zu sehen:

Es treffen sich also auch noch N1D1 und N2D2 in Hö, T1D2 und T2D1 in Gv, wo sich auch FbX55 und X12X56 schneiden.

Auf diesen Geraden liegen noch weit mehr Mittelpunkte, die hier aber nicht im Einzelnen behandelt werden.

Vecten-Punkte V1, V2

Satz von van Aubel (am Viereck)

Hängt man Quadrate an die Seiten eines Polygons, so werden diese nach Vecten benannt. Wir wenden uns vorübergehend dem ebenen Viereck zu und bekommen einen Satz, der nach van Aubel benannt ist: Die Mittelpunkte der nach außen angesetzten Quadrate bilden ein Viereck mit gleich langen und zu einander rechtwinkligen Diagonalen:

Wegen der Klappsymmetrie liefert dabei ein gleichschenkliges Trapez einen Drachen:

... und umgekehrt ein Drachenviereck ein gleichschenkliges Trapez:

.. ein Parallelogramm ein Quadrat (wegen der 2-zähligen Drehsymmetrie, Satz von Thébault 1937):

.. und ein Rechteck ebenfalls, sozusagen erst recht:

Ist das Viereck konkav, so überlappen sich die Quadrate:

Überkreuzen sich die Seiten des Vierecks, so muss die Unterscheidung "innen/außen" ersetzt werden durch die Vorstellung, dass jemand den Seiten des Vierecks folgt und dabei die Quadrate stets zu seiner rechten Seite ansetzt:

Auch kreuzen sich dann die Diagonalen nicht mehr selbst, sondern nur die durch sie gehenden Geraden, aber am rechten Winkel zwischen ihnen und ihrer Längengleichheit ändert sich nichts.

Übergang zum Dreieck

Aus dem Viereck kann man leicht ein Dreieck machen, indem eine Seite zur Länge 0 schrumpft und damit das zugehörige Quadrat ebenfalls zu dem Punkt entartet, der von den beiden Ecken übrig bleibt:

Die Strecke von einer Quadratmitte zur gegenüber liegenden Ecke des Bezugsdreiecks ist gleich lang und rechtwinklig zur Verbindung der beiden anderen Quadratmitten.




Sind sie allesamt nach außen (bzw. allesamt nach innen) orientiert, so schneiden sich die Ecktransversalen durch ihre Mittelpunkte A1m1 usw. in einem Punkt V1 bzw. V2. Für den ersten Fall sieht das so aus:

Die Kiepert-Hyperbel

Der Satz von Kiepert besagt: Fügt man einem Dreieck drei neue Punkte zu, die mit seinen Ecken drei gleichschenklige Dreiecke - mit seinen Seiten als Grundseiten - allesamt nach außen oder allesamt nach innen orientiert, so schneiden sich die Ecktransversalen zu diesen Punkten in je einem Punkt, der auf einer rechtwinkligen Hyperbel liegen. Diese geht durch die Ecken des Dreiecks, durch seinen Höhenschnittpunkt und seinen Schwerpunkt (außerdem auch durch seinen Spiekerpunkt). Den Spezialfall mit den Basiswinkeln 60o, also mit gleichseitigen Dreiecken, kennen wir schon von Fermat und Torricelli als Punkt T1, für -60o, also nach innen geklappte gleichseitige Dreiecke, gibt es T2, ebenfalls auf dieser Kiepert-Hyperbel. Für +30o bzw. -30o - was also auch den Mittelpunkten der gleichseitigen Dreiecke entspricht - gibt es die Napoleon-Punkte N1 und N2, und für +45o bzw. -45o, also Mittelpunkte von Quadraten - die Vecten-Punkte V1 und V2.

Das obige Bild zeigt N1, V1 und T1 mit den zugehörigen Dreiecken und Ecktransversalen, das folgende ist davon eine Ausschnittsvergrößerung:

Einzelne Bilder hieraus zeigen:

1. Fermat-Torricelli-Punkt T1 (60 Grad, Spitzen der gleichseitigen Dreiecke):

1. Vecten-Punkt V1 (Quadrat-Mittelpunkte, 45 Grad Basiswinkel):

1. Napoleon-Punkt N1 (Mitten der gleichseitigen Dreiecke oder Basiswinkel 30 Grad):

Schwerpunkt Gv (gleichschenklige Dreiecke fallen flach):

2. Vecten-Punkt V2:

2. Fermat-Torricelli-Punkt T2:

Isogonale Abbildungen

Wenn man einen Punkt P0 der Ebene mit den drei Ecken eines Dreiecks ABC in dieser Ebene verbindet und diese Geraden an den drei Winkelhalbierenden spiegelt, so sind diese neuen Geraden parallel zu einander, wenn der Punkt auf dem Umkreis liegt, oder - in allen anderen Fällen - schneiden sie sich in einem Punkt, der dann als der isogonale Bildpunkt Ig von P0 bezüglich des Dreiecks ABC bezeichnet wird. Die Mittelpunkte des Inkreises und der drei Ankreise werden jeweils auf sich selbst abgebildet (sind also Fixpunkte). Der Umkreismittelpunkt Um und der Höhenschnittpunkt Hö sind zu einander isogonal. Sehr wichtig ist auch der nach Lemoine oder Grebe benannte oder als Symmedian bezeichnete Punkt Sy, der zum Schwerpunkt Gv isogonal ist.

Das Bild zeigt in jeweils gleichen Farben Flächen, die auf einander isogonal bezüglich A1A2A3 abgebildet werden. Diese liegen fächerförmig um die vier Fixpunkte herum, nämlich die Mittelpunkte der drei Ankreise E1 E2 E3 und des Inkreises In. Ihre gegenseitigen Grenzen sind die verlängerten Seiten des Dreiecks und die Winkelhalbierenden, sowie 7 Kreise, nämlich der Umkreis, der "nach Unendlich" abgebildet wird, und die Kreise durch je zwei Ecken und den Inkreismittelpunkt bzw. durch zwei Ecken und den gegenüber liegenden Ankreismittelpunkt (diese haben jeweils eine Strecke zwischen dem Inkreismittelpunkt und einem Ankreismittelpunkt oder zwischen zwei Ankreismittelpunkten als Durchmesser und allesamt ihre Mittelpunkte auf dem Umkreis, der nämlich der Neunpunktekreis für das Excenter-Dreieck E1E2E3 ist. Jede Gerade durch zwei Ecken (also jede verlängerte Seite) wird auf die Gegenecke abgebildet, so dass (nur!) für die Ecken (und den unendlich fernen Punkt) die isogonale Abbildung nicht eindeutig ist (für alle anderen Punkte ist sie ein-eindeutig und ihre eigene Umkehrabbildung, wohlgemerkt immer in Bezug auf ein gegebenes Dreieck A1A2A3). Die genannten sechs Kreise werden jeweils auf sich selbst abgebildet, abgesehen von der Mehrdeutigkeit bei den Ecken. Alle drei winkelhalbierenden Geraden werden auf sich selbst abgebildet, und zwar in folgender Weise: die nach außen gewandte Halbstrecke vom Unendlichen bis zur Ecke wird gegensinnig auf das Stück zwischen der Gegenseite und dem Umkreis abgebildet, die beiden Stücke im Inneren des Dreiecks zu beiden Seiten des Inkreismittelpunktes gegensinnig auf einander, und die Stücke vom Umkreis bis zum Ankreismittelpunkt gegensinnig auf das von diesem bis zum Unendlichen.

Geraden werden isogonal auf Kegelschnitte durch die drei Ecken des Dreiecks (Um-Ellipsen usw.) abgebildet. Hier sind einige Bilder mit Spezialfällen aus der vorigen Animation:

Geht die Gerade am Umkreis vorbei, ist der dazu isogonale Kegelschnitt eine Ellipse.

Geht die Gerade durch einen Ankreismittelpunkt, so trifft sie dort ihren Kegelschnitt, denn dieser ist einer der vier Fixpunkte (neben dem Inkreismittelpunkt und den anderen beiden Ankreismitten).

Berührt sie ihn, so gibt es eine Parabel.

Diese entartet zu einer Geraden parallel zur Gegenseite des Dreiecks, wenn die gegebene Gerade durch ein Ecke geht.

Schneidet die Gerade den Umkreis, gibt es eine Hyperbel, deren Mittelpunkt auf dem Neunpunktekreis liegt.

Geht sie durch den Umkreismittelpunkt, so ist die Hyperbel rechtwinklig und geht durch den Höhenschnittpunkt. Je nach Drehung der Geraden gibt es für diesen Fall noch speziellere Fälle, von denen drei mit Namen benannt sind: die Kiepert-Gerade geht außerdem noch durch den Schwerpunkt (die zu ihr isogonale Gerade also durch den Symmedianpunkt), die Jerabek-Hyperbel ist isogonal zur Euler-Geraden, geht also durch den Symmedianpunkt, denn diese geht durch den Schwerpunkt. Die Feuerbach-Hyperbel trifft dagegen im Inkreismittelpunkt (der ja ein Fixpunkt der isogonalen Zuordnung ist) die zu ihr gehörende Gerade. Die drei genannten und noch unendlich viele andere haben wohlgemerkt gemeinsam, dass sie durch die Ecken des Dreiecks gehen (denn sie sind Umhyperbeln), dass sie durch Hö gehen und zueinander rechtwinklige Asymptoten haben.

Im Falle der Kiepert-Hyperbel ist das der Schwerpunkt Gv auf der Hyperbel und damit der Symmedian Sy auf der zu ihr isogonalen Gerade durch Um und Sy, die auch als Brocard-Achse bezeichnet wird. Die Kiepert-Hyperbel geht also durch Hö (wie jede rechtwinklige Umhyperbel) und außerdem durch den Schwerpunkt Gv. Ihr Mittelpunkt Kh liegt auf dem Neunpunktekreis und liegt in der Mitte der Strecke zsichen den beiden (Fermat-) Torricelli-Punkten T1 und T2. Zu diesen beiden sind die isodynamischen Punkte D1 und D2 isogonal, diese liegen also auf der Brocard-Achse. Dass auch die mit den Torricelli-Punkten verwandten und nach Napoleon bzw. Vecten benannten Punkte auf der Kiepert-Hyperbel liegen, haben wir schon festgestellt. Dass auch der Spieker-Punkt auf ihr liegt, ist wesentlich später gefunden worden.

In der folgenden Animation dreht sich eine Gerade durch den Umkreismittelpunkt um diesen. Die Farben unterscheiden ihre Teile zwischen der Mitte und ihren Schnitten mit dem Umkreis, innen und außen. Die Abschnitte der rechtwinkligen Umhyperbeln - die allesamt durch den Höhenschnittpunkt Hö gehen, weil dieser isogonal zu Um ist - sind entsprechend gefärbt.

Satz von Grebe, Symmedian-Punkt Sy = X6

Ernst Wilhelm Grebe (1904-1874) fand 1847 diesen Satz: Setzt man an ein Dreieck A1A2A3 außen Quadrate der jeweiligen Seitenlängen und bildet aus den parallelen Seiten das größere Dreieck G1G2G3, so schneiden sich A1G1 usw. in einem Punkt. Dieser ist der Symmedian von A1A2A3, also der bezüglich dieses Dreiecks isogonale Bildpunkt zu seinem Schwerpunkt Gv (d.h. die Winkel A3A1Gv und SyA1A2 sind gleich, analog für die anderen). Der Symmedian wird nach Grebe und auch nach Lemoine benannt.

Im folgenden Bild sind m1 m2 m3 die Mittelpunkte der Umkreise von je einer Ecke des Dreiecks und zwei Ecken der Quadrate. Die drei Dreiecke A1A2A3, m1m2m3 und G1G2G3 sind homothetisch (ähnlich und parallel-gerichtet) zueinander mit dem Symmedian Sy als gemeinsamem Zentrum.

Die Jerabek-Hyperbel

Sie ist isogonal zur Euler-Gerade LoUmGvNeHö kreuzt diese in den beiden zu einander isogonalen Punkten Hö und Um. Sie geht insbesondere durch den Symmedian (auch Grebe- oder Lemoine-Punkt genannt), der isogonal zum Schwerpunkt Gv ist.

Die Feuerbach-Hyperbel

Diese rechtwinklige Um-Hyperbel des Dreiecks geht durch Hö, In, Ge und Ng. Ihr Mittelpunkt ist der Feuerbach-Punkt, also der Berührpunkt des Inkreises mit dem Neunpunktekreis (auf dem die Mittelpunkte aller rechtwinkligen Um-Hyperbeln liegen).

Macbeath-In-Kegelschnitte

Im spitzwinkligen Dreieck sind Höhenschnittpunkt Hö und Umkreismittelpunkt Um die Brennpunkte einer Inellipse, die als große Achse einen Durchmesser des Neunpunktekreises hat.

Im stumpfwinkligen Dreieck gibt es stattdessen eine In-Hyperbel ebenfalls mit Hö und Um als Brennpunkten und mit Ne als Mittelpunkt:

Steiners In- und Um-Ellipse

Die gleichermaßen nach Steiner benannten In- und Um-Ellipsen mit dem Schwerpunkt des Dreiecks als Mittelpunkt gehen durch Streckung (ohne Drehung) im Verhältnis 1:2 auseinander hervor. Die Steiner-Um-Ellipse schneidet den Umkreis außer in den Ecken noch in dem Steiner-Punkt St. Dort treffen sich auch die Umkreise der Dreiecke A1a2a3, a1A2a3 und a1a2A3, wobei a1a2a3 das am (gemeinsamen) Schwerpunkt Gv gespiegelte Dreieck A1A2A3 ist.

Verformt man ein gleichseitiges Dreieck affin (also im Sinne eines Schrägbildes), so gehen In- und Umkreis in die beiden Steiner-Ellipsen über.

Die Brennpunkte b1 und b2 von Steiners Um-Ellipse sind nach Bickert benannt.

Evans-Kegelschnitt

Die beiden (Fermat-) Torricelli-Punkte T1 und T2, die zu ihnen isogonalen "isodynamischen" Punkte D1 und D2 und die beiden Napoleon-Punkte N1 und N2 liegen auf einem Kegelschnitt, der in diesem Bild eine Ellipse ist.