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Der Mathematische Monatskalender: John Horton Conway, das rastlose Genie

»Ein hervorstechender Mathematiker mit dem Charisma eines Rockstars« – so erinnert man sich an das Ausnahmetalent John Horton Conway. 2020 starb er an den Folgen von Corona.
Penrose-Pflasterung

Als John Horton Conway (26.12.1937–11.04.2020) vor zwei Jahren infolge einer Covid-19-Infektion starb, übertrafen sich die Verfasser der Nachrufe über ihn mit Superlativen; »einer der bedeutendsten Mathematiker des Jahrhunderts« war eine eher zurückhaltende Einschätzung seiner Lebensleistungen.

John wuchs als drittes Kind des Chemielaboranten Cyril Horton Conway und seiner Frau Agnes in der schwierigen Kriegs- und Nachkriegszeit in Liverpool auf. Bereits während seiner Grundschulzeit verkündete der Junge seine Absicht, einmal Mathematiker in Cambridge zu werden.

Der mathematische Monatskalender

Ihre wissenschaftlichen Leistungen sind weit verbreitet, doch wer waren die Mathematik-Genies, die unser Verständnis der Welt nachhaltig prägten? Für seine Schüler hat Heinz Klaus Strick, ehemaliger Leiter des Landrat-Lucas-Gymnasiums in Leverkusen-Opladen den »mathematischen Monatskalender« geschrieben und mit passenden Briefmarken der vorgestellten Personen ergänzt. Alle spannenden Lebensläufe, skurrilen Porträts und unglaublichen Geschichten hinter den namhaften Persönlichkeiten finden Sie nun auch hier.

Auch in der weiterführenden Schule erzielte er überdurchschnittliche Noten; an seine Leistungen in Mathematik kam keiner seiner Mitschüler heran. Das Bachelorstudium in Cambridge schloss er 1959 ab; ein anschließendes Forschungsstipendium führte ihn zu Harold Davenport, einem international anerkannten Experten der Zahlentheorie, der ihm als Thema für seine Doktorarbeit den Beweis der waringschen Vermutung für den Fall n = 5 vorschlug.

Waringsche Vermutung (1770): Für jede natürliche Zahl k existiert eine Zahl g(k) derart, dass jede natürliche Zahl n als Summe von höchstens g(k) Potenzen mit Exponent k dargestellt werden kann. Bis heute sind bekannt und bewiesen: g(2) = 4, g(3) = 9, g(4) = 19, g(5) = 37, g(6) = 73, g(7) = 143. Beispiele: Jede natürliche Zahl kann dargestellt werden als Summe von höchstens

  • vier Quadratzahlen: 7 = 22 + 12 + 12 + 12; 31 = 52 + 22 + 12 + 12 = 32 + 32 + 32 + 22,
  • neun Kubikzahlen: 23 = 23 + 23 + 7 · 13.

Conway gefiel dieses Thema nicht besonders, und er schob den Beginn einer ernsthaften Recherche immer weiter vor sich her; ihn interessierten tausend andere Probleme mehr als dieses. Davenport kommentierte das später einmal mit den Worten: »Unter meinen 14 Doktoranden (…) hatte ich zwei herausragende Studenten: Alan Baker (Gewinner der Fields-Medaille 1970) – wenn ich diesem ein Problem stellte, dann kam er mit einer sehr guten Lösung zurück – und John Conway – wenn ich dem ein Problem stellte, kam er mit einer sehr guten Lösung zu einem anderen Problem zurück.«

John Horton Conway

Schließlich raffte sich Conway 1964 auf und arbeitete vom frühen Morgen bis zum späten Abend an dem gestellten Thema, und nach bloß sechs Wochen harter Arbeit war der Beweis geschafft. Nach Durchsicht des Skripts hatte Davenport jedoch statt eines Lobs nur Worte der Enttäuschung für Conway übrig: »Die Arbeit enthält nur das Nötigste für einen Beweis und keine neuen Ideen.« Conway zog daraufhin seine Arbeit zurück, verfasste noch im selben Jahr eine neue Dissertation zum Thema »Homogeneous Ordered Sets«, erwarb den Grad eines Doctor of Philosophy (Ph. D.). Endlich erfüllte sich damit sein Jugendtraum: Er wurde Dozent an der Cambridge University.

Ein Beweis, dass g(5) =  37, wurde – mit einem anderen Ansatz – noch im selben Jahr vom chinesischen Mathematiker Chen Jingrun (1933–1996) veröffentlicht. Ein Ereignis des Jahres 1965 hatte dann einen entscheidenden Einfluss auf Conways weiteren Lebensweg: Dem britischen Mathematiker John Leech gelang eine Entdeckung bei einem Problem, das die Geometer nicht erst seit Johannes Kepler bewegt: Was ist die maximale Anzahl gleich großer Kugeln, die eine im Zentrum liegende Kugel (von gleicher Größe) ohne Überschneidung berühren können?

Im zweidimensionalen Fall ergibt sich eine Kusszahl von sechs (das heißt, maximal sechs einander berührende Kreise können um einen Kreis mit dem gleichen Radius gelegt werden), im dreidimensionalen Fall ist die Kusszahl gleich zwölf – mit viel Leerraum zwischen den außen liegenden berührenden Kugeln.

Kusszahl

Leech hatte für den 24-dimensionalen Fall eine besondere Gitterstruktur für das Problem entdeckt; aus diesem heute so genannten Leech-Gitter ergibt sich eine Kusszahl von 196 560 von außen berührenden 24-dimensionalen Kugeln.

Im zweidimensionalen Fall lassen sich die außen liegenden Kreise durch 60-Grad-Drehungen ineinander überführen – diese Drehungen bilden eine so genannte zyklische Gruppe der Ordnung sechs.

Leech war auf der Suche nach einer geeigneten Gruppe von Abbildungen für die von ihm entdeckte Struktur; da er sich aber in der Gruppentheorie nicht so gut auskannte, sprach er Expertinnen und Experten in aller Welt an. Doch niemand konnte helfen – bis Conway einen Aufsatz ankündigte, der 1969 im »Bulletin of the London Mathematical Society« erschien: Die gesuchte Gruppe hat die Ordnung 8 315 553 613 086 720 000.

Nun hatte Conway ein Projekt gefunden, das er durch eine Reihe weiterer Beiträge voranbrachte und maßgeblich zum Abschluss führte: 1985 erschien »The ATLAS of Finite Groups«, ein Buch über Gruppentheorie mit einem Verzeichnis aller 93 endlichen einfachen Gruppen, darunter sind auch drei Gruppen, die nach Conway benannt sind.

1988 veröffentlichte er (zusammen mit Neil J. A. Sloane): »Sphere packings, lattices and groups«, einen Überblick über den Stand der Forschung zum Thema Kugelpackungen.

Seit seiner Jugend hatte Conway großes Interesse an Spielen im Allgemeinen und an Gewinnstrategien im Besonderen. Ständig dachte er sich Spiele aus und variierte die zugehörigen Regeln. So entstanden unter anderem die Bücher »On numbers and games« (1976), das er innerhalb einer Woche fertigstellte, und »Winning ways for your mathematical plays« (zwei Bände 1982 und weitere zwei Bände 2003 und 2004).

Als Student erfand er (zusammen mit Michael S. Patterson) das Papier- und Bleistiftspiel »Sprouts« für zwei Spieler: Zu Beginn werden auf einem Blatt n Punkte markiert. Abwechselnd verbinden die Spieler zwei beliebige Punkte miteinander (auch eine Schleife zum Punkt selbst ist zulässig) und tragen auf der Verbindungslinie einen weiteren Punkt ein. Pro Punkt dürfen allerdings höchstens drei Linien enden; außerdem dürfen sich die Linien nicht überschneiden. Wer als Letzter eine Linie einzeichnen kann, hat gewonnen. Auf Grund der Regel ist die Spieldauer begrenzt: Ein Spiel endet nach maximal 3n – 1 Zügen.

Der breiten Öffentlichkeit wurde Conway 1970 durch die Erfindung des Spiels »Game of Life« bekannt – eigentlich handelt es sich um ein Spiel ohne Spieler, denn der Ablauf wird allein durch den Anfangszustand eines zellulären Automaten bestimmt.

Gespielt wird mit Steinen auf einem unbegrenzt großen Schachbrett. Jedes Feld (eine so genannte Zelle) hat genau acht Nachbarfelder. Zu Beginn werden einige Spielsteine für ein Startmuster ausgelegt. Das Muster wird schrittweise und für alle Zellen gleichzeitig nach folgenden Regeln verändert:

  • Überleben: Jede Zelle mit zwei oder drei Nachbarn überlebt (der in der Zelle liegende Spielstein bleibt erhalten).

  • Tod: Jede Zelle mit nur einem Nachbarn stirbt an Einsamkeit, bei vier oder mehr Nachbarn stirbt sie wegen Überbevölkerung (der Spielstein wird im nächsten Schritt herausgenommen – in der folgenden Grafik durch weiße Steine angedeutet).

  • Geburt: Jede leere Zelle mit genau drei Nachbarn ist eine Geburtszelle (ein neuer Spielstein wird im nächsten Schritt eingefügt – durch grüne Farbe hervorgehoben).

Das Spiel wurde über Martin Gardners monatliche Rubrik »Mathematical Games« in »Scientific American« bekannt. Es ist vermutlich nicht nur ein Gerücht, dass für das »Game of Life« mehr Rechenzeit an Computern verbraucht wurde als für irgendein anderes Projekt. Conway selbst suchte anfangs wochenlang nach besonders interessanten Startkonfigurationen.

Er entdeckte auch eine Methode, um aus einem magischen Quadrat der Ordnung 2n + 1 ein magisches Quadrat der Ordnung 4n + 2 zu erzeugen (so genannte LUX-Methode).

Dass die »Doomsday Rule« (englisch: doomsday = Tag des Jüngsten Gerichts) bis dahin noch niemandem aufgefallen war, erscheint verwunderlich, aber tatsächlich war es Conway, der als erster Mathematiker eine grandiose Entdeckung im Kalender machte: Ihm fiel auf, dass die folgenden Tage des Jahres alle auf den gleichen Wochentag fallen:
Der letzte Tag im Monat Februar ist der Doomsday; auf den gleichen Wochentag fallen dann in den geraden Monaten auch die Tage 04.04., 06.06., 08.08., 10.10. und 12.12., außerdem noch in ungeraden Monaten die Tage 09.05. und 05.09. sowie 11.07. und 07.11. Wenn man also für ein bestimmtes Jahr den Wochentag des Doomsday kennt, dann kann man schnell den Wochentag eines beliebigen anderen Tags des Jahres ausrechnen. Merkt man sich noch für das Jahr 2000 den Doomsday-Wochentag d = 2 (Dienstag) und für das Jahr 1900 d = 3 (Mittwoch), dann ergibt sich bei Division der Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der Jahreszahl gebildet wird, durch 12 ein ganzzahliger Anteil a sowie ein Rest b. Der Koeffizient c ist der ganzzahlige Anteil bei der Division des Rests b durch 4. Dann liefert die Summe a + b + c + d den Doomsday des betreffenden Jahres.

Beispiele: 26.12.1937 (Conways Geburtstag): 37:12 = 3 Rest 1, also a = 3, b = 1, c = 0, d = 3; a + b + c + d = 7. Der 12.12.1937 war also ein Sonntag, daher auch der 26.12.1937.

11.04.2020 (Conways Sterbetag): 20:12 = 1 Rest 8, also a = 1, b = 8, c = 2, d = 2; a + b + c + d = 13 = 6 (modulo 7). Der 04.04.2020 war also ein Samstag, daher auch der 11.04.2020.

Conway nutzte das Spiel, um seine geistige Beweglichkeit zu testen: Jedes Mal, wenn er seinen Computer hochfuhr, wurden zunächst nacheinander zehn Zufallsdaten ausgegeben, zu denen er den Wochentag eingeben musste, bevor er seinen Computer nutzen konnte. Sein persönlicher Rekord: zehn Daten in 10,66 Sekunden.

Es gibt kaum ein Gebiet der Unterhaltungsmathematik, zu dem Conway nicht auch einen Beitrag geliefert hat. Er war einer der Ersten, der eine Anleitung zur Theorie des Rubik-Würfels veröffentlichte. Zudem dachte er sich eine Kombination von 18 Quadern aus, die zusammen einen 5x5x5-Würfel bilden (Conway-Puzzle).

In der Dreiecksgeometrie erfand er eine Formulierung, durch die einfachere Formeln entstehen (Conway triangle notation). Nach ihm benannt ist zudem der Conway-Kreis: Werden die Seiten eines Dreiecks jeweils um die Länge der gegenüberliegenden Dreiecksseite verlängert, dann liegen die Endpunkte dieser Strecken auf einem Kreis mit Radius \(R = \sqrt{r^2+s^2} \), wobei \(s= \frac{1}{2} \cdot (a+b+c) \) der halbe Umfang des Dreiecks und r der Inkreisradius sind. Der Mittelpunkt des Conway-Kreises ist gleichzeitig auch Inkreismittelpunkt des Dreiecks.

Conway-Kreis

Neue Ordnung brachte er außerdem in die Knotentheorie, indem er eine neue Notation für Knoten einführte und Fehler in alten Tabellen korrigierte. Auch fand er den nach ihm benannten Conway-Knoten mit elf Überkreuzungen.

Conway Knoten

Durch seine vielfältigen Beiträge prägte Conway etliche Begriffe, die allgemein übernommen wurden: Als sein Freund, der englische Physiker und Mathematiker Roger Penrose, in den 1970er Jahren Parkettierungen mit »goldenen« Dreiecken untersuchte, gab Conway den beiden Grundformen die Bezeichnungen »darts« (Pfeile) beziehungsweise »kites« (Drachen). Conway schlug vor, auf diesen Grundelementen zusätzliche Kreisbogen aufzutragen. Der Radius dieser Bogen ist dabei so gewählt, dass die »kites«- und »darts«-Seiten jeweils im Verhältnis des goldenen Schnitts geteilt werden. Außerdem sollen Anlegeregeln (matching rules) gelten: Nur solche »kites« und »darts« dürfen aneinandergelegt werden, bei denen die Kreisbogen jeweils gleicher Farbe ineinander übergehen.

Penrose-Pflasterung | Diese Penrose-Pflasterung der Ebene lässt sich bis ins Unendliche fortsetzen. Sie ist fünfzählig-symmetrisch um ihren Mittelpunkt; und obwohl immer wieder die gleichen Motive auftauchen, wird sie niemals periodisch.

Gemäß dieser Regel können schrittweise wunderbar symmetrische Figuren aufgebläht werden (hier prägte Conway die Bezeichnung »inflation«, außerdem »star pattern« und »sun pattern«). Umgekehrt sind auch Zerlegungen der goldenen Dreiecke möglich (»deflation«).

Conway hatte auch die originelle Idee, die sieben möglichen Typen von Fries-Ornamenten mit Hilfe von Fußabdrücken zu charakterisieren: F1 (hop), F2 (jump), F3 (sidle), F4 (spinning hop), F5 (step), F6 (spinning sidle), F7 (spinning jump).

Zur Analyse von Spielen erfand Conway 1974 die so genannten surrealen Zahlen – eine Klasse von Zahlen, zu denen die reellen Zahlen ebenso gehören wie infinitesimal kleine oder unendlich große. Er hielt sie für die wichtigste Entdeckung seines Lebens.

1986 verließ Conway Cambridge und nahm einen Ruf auf den renommierten John von Neumann Chair of Applied and Computational Mathematics in Princeton an. Im Lauf der Jahrzehnte erhielt er zahlreiche Ehrungen und Auszeichnungen, unter anderem war er erster Preisträger des Pólya-Preises der London Mathematical Society.

Während seines gesamten akademischen Lebens war Conway rast- und ruhelos – ständig hatte er neue Ideen. Sein Arbeitszimmer quoll über von Manuskripten und bunten, selbst gebauten Modellen; dennoch fand er fast immer, was er sich auf irgendeinem Zettel notiert hatte. Üblicherweise trug er jahraus, jahrein Sandalen, im Sommer lief er auch gerne barfuß herum; diese Gewohnheit aus Studienzeiten änderte er auch nicht im Alter. Gerne nahm er Einladungen zu populärwissenschaftlichen Vorträgen oder zu Sommercamps für Jugendliche an und ließ das an seinen Lippen hängende Publikum am Anfang über das Thema seines Vortrags abstimmen (aus einer spontan zusammengestellten Vorschlagsliste von zehn Themen); allerdings kam es auch vor, dass er einen solchen Termin vergaß. Durch seine unkonventionelle Art des Vortrags faszinierte er nicht nur Laien, sondern gleichermaßen auch Fachwissenschaftler, wie die 3000 Zuhörerinnen und Zuhörer beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Zürich 1994.

Seinen Studenten gab er zwei Gedanken mit auf den Weg:

  • Take it as axiomatic that you are stupid. If you think you have proved something, think again. Find the holes in your own proofs.
  • If you have indeed discovered something, but then discover that someone else discovered it before you, consider yourself in good company, and mark your progress. If you find something already discovered 2000 years ago, then 200, then 20, at least you are improving. And then, if you're lucky, next maybe you'll discover something new.

Zwei seiner Ehen scheiterten, nicht nur wegen zahlreicher Affären – aus seinen drei Ehen gingen insgesamt sieben Kinder hervor. Nach dem Scheitern der zweiten Ehe unternahm er einen Selbstmordversuch und litt unter Depressionen. Seine ungesunde Lebensweise führte unter anderem zu zwei Herzinfarkten, aber immer wieder erholte er sich – bis zu einem schweren Schlaganfall im Jahr 2018: Er musste in ein Pflegeheim, wo er noch regelmäßig Besucher empfing, bis dann Anfang 2020 wegen der Covid-19-Pandemie keine Besuche mehr möglich waren

Siobhan Roberts schreibt in ihrer Biografie über ihn: »(Conway is) a singular mathematician with a lovely loopy brain. He is Archimedes, Mick Jagger, Salvador Dali, and Richard Feynman all rolled into one – a singular mathematician, with a rock star's charisma, a sly sense of humor, a polymath's promiscuous curiosity, and a burning desire to explain everything about the world to everyone in it.«

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