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Der Mathematische Monatskalender: Qin Jiushao: Der Unberechenbare

Er kämpfte gegen Dschingis Khan, bereicherte sich durch den illegalen Verkauf von Salzvorräten und nahm Bestechungsgelder an: Qin Jiushao war kein gewöhnlicher Mathematiker.
Abakus

Qin Jiushao wurde 1202 als Sohn eines höheren Beamten in der Provinz Sichuan im Südwesten Chinas geboren. Mit 17 Jahren meldete er sich freiwillig zur Armee und war an einem Einsatz beteiligt, durch den ein Aufstand niedergeschlagen wurde.

Nach der Versetzung des Vaters nach Hangzhou, der im Osten Chinas gelegenen Hauptstadt des Reichs der Song-Dynastie, nahm der Sohn die Möglichkeiten wahr, Mathematik und Astronomie zu studieren.

1226 kehrte Qin Jiushao mit seinem Vater wieder zurück in die Heimat, wo er seine Studien fortsetzen konnte. Wer damals in den Staatsdienst eintreten wollte, musste Prüfungen in sechs Disziplinen absolvieren, eine davon war Mathematik. Grundlage für das siebenjährige Studium der anwendungsorientierten Inhalte waren die so genannten »Neun Kapitel mathematischer Kunst« (Jiuzhang suanshu), die vom 2. Jahrhundert v. Chr. an zusammengestellt und ergänzt wurden, unter anderem durch Liu Hui (220–280) und Zu Chongzhi (429–501).

Der mathematische Monatskalender

Ihre wissenschaftlichen Leistungen sind weit verbreitet, doch wer waren die Mathematik-Genies, die unser Verständnis der Welt nachhaltig prägten? Für seine Schüler hat Heinz Klaus Strick, ehemaliger Leiter des Landrat-Lucas-Gymnasiums in Leverkusen-Opladen, den »mathematischen Monatskalender« geschrieben und mit passenden Briefmarken der vorgestellten Personen ergänzt. Alle spannenden Lebensläufe, skurrilen Porträts und unglaublichen Geschichten hinter den namhaften Persönlichkeiten finden Sie nun auch hier.

Verteidigung Chinas gegen Dschingis Khan

Im Unterschied zu seinen Mitstudenten, welche die ihnen vermittelten Methoden auswendig lernten, um die Prüfungen zu bestehen, durchschaute Qin Jiushao die mathematischen Methoden. Seine Begabung zeigte sich nicht nur in der Mathematik, sondern gleichermaßen auch in der Dichtkunst, der Musik und der Architektur. Und gleichzeitig galt der unbeherrschte und unberechenbare junge Mann als hervorragender Reiter, Fechter und Bogenschütze. Als die mongolischen Heere des Dschingis Khan die Provinz Sichuan bedrohten, wurde er Befehlshaber einer Einheit zur Verteidigung des Landes.

Qin Jiushao wurde in verschiedenen Provinzen mit Verwaltungsaufgaben betraut, die er ohne jegliche Rücksichtnahme wahrnahm, so dass es sogar zu einem Aufstand gegen ihn kam. Dass er durch den illegalen Verkauf von Salzvorräten zu großem Reichtum gelangte, tat seiner Karriere im Staatsdienst keinen Abbruch. Kurz nachdem er 1244 einen wichtigen Posten am kaiserlichen Hof in der Hauptstadt Nanjing angetreten hatte, erreichte ihn die Nachricht vom Tod seiner Mutter.

Während der traditionellen dreijährigen Trauerzeit verfasste Qin Jiushao das Meisterwerk »Shushu jiuzhang« (Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln), das 1247 erschien. Es ist sicherlich kein Zufall, dass es aus genau neun Kapiteln besteht (außerdem fasst jedes Kapitel neun ausgewählte Aufgaben), entspricht dies doch – bis auf die Reihenfolge der Themen – dem Werk seines großen Vorbilds Liu Hui.

Entlassung aus dem Staatsdienst

1254 kehrte Qin Jiushao für einige Monate wieder in den Staatsdienst zurück. Sein Einsatz als Gouverneur in einer südlichen Provinz im Jahr 1259 wurde nach 100 Tagen wegen Amtsmissbrauchs beendet. Das durch Bestechung erworbene neue Vermögen sicherte ihm weitere finanziell unbeschwerte Jahre. Bereits im folgenden Jahr gelang es ihm erneut, mit einem Verwaltungsposten betraut zu werden – als Mitarbeiter seines Freundes Wu Qian, der als Marineoffizier tätig war. Nach der Entlassung Wu Qians aus dem Staatsdienst wurde Qin Jiushao nach Meixian in der südchinesischen Provinz Guangtong versetzt, wo er 1261 starb.

Der Buchdruck war im 7. Jahrhundert in China erfunden und im 11. Jahrhundert zu einem Druck mit beweglichen Lettern weiterentwickelt worden. Warum Qin Jiushaos Werk – im Unterschied zu vielen anderen Büchern dieser Zeit – nicht gedruckt wurde, lässt sich nicht mehr klären. Das Buch wurde oft vervielfältigt und verbreitete sich auch in Japan und Korea. Die heute vorliegende Fassung entstand 1842 – rekonstruiert aus einer koreanischen Kopie.

Erstes Kapitel

Im ersten Kapitel des »Shushu jiuzhang« beschäftigte sich Qin Jiushao mit einer Klasse von Problemen, die der chinesische Mathematiker Sun Zi (400–460) erstmals beschrieb:

  • Eine unbekannte Anzahl von Objekten ist gegeben. Bei einer 3er-Zählung bleiben 2 übrig, bei 5er-Zählung 3 und bei 7er-Zählung 2. Wie viele Objekte sind es?

    In moderner Schreibweise notiert: Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl n mit n ≡ 2 (mod 3) ∧ n ≡ 3 (mod 5) ∧ n ≡ 2 (mod 7).

    Sun Zi gab zur Bestimmung der gesuchten Zahl das folgende Verfahren an: »Multipliziere die Anzahl der übrig gebliebenen Objekte bei der 3er-Zählung mit 70, addiere dazu das Produkt der Anzahl der übrig gebliebenen Objekte bei der 5er-Zählung mit 21 und addiere dann noch das Produkt der Anzahl der übrig gebliebenen Objekte bei der 7er-Zählung mit 15.« Die kleinste in Frage kommende Anzahl an Objekten ergibt sich, indem man von dem Ergebnis ein möglichst großes Vielfaches von 105 = 3 · 5 · 7 subtrahiert. Hier also: n = 2 · 70 + 3 · 21 + 2 · 15 − 2 · 105 = 23.

    Die Faktoren 70, 21, 105 ergeben sich dabei aus den folgenden Bedingungen: 70 ≡ 1 (mod 3) ∧ 70 ≡ 0 (mod 5) ∧ 70 ≡ 0 (mod 7), 21 ≡ 1 (mod 5) ∧ 21 ≡ 0 (mod 3) ∧ 70 ≡ 0 (mod 7), 15 ≡ 1 (mod 7) ∧ 15 ≡ 0 (mod 3) ∧ 15 ≡ 0 (mod 5).

Dieses hier im Beispiel beschriebene Verfahren ist allgemein anwendbar, wenn die betrachteten Moduln paarweise zueinander teilerfremd sind. Aufgaben dieses Typs findet man 100 Jahre später dann auch bei Aryabhata und 750 Jahre danach bei Leonardo von Pisa (Fibonacci).

Qin Jiushao gilt als der erste Mathematiker, der Aufgaben auch für den Fall löst, dass die Moduln nicht paarweise zueinander teilerfremd sind. Das von ihm entwickelte Verfahren wird in der Fachliteratur als »Chinesischer Restsatz« bezeichnet. 500 Jahre später wurde die Methode Qin Jiushaos von Leonhard Euler wieder entdeckt und 1801 von Carl Friedrich Gauß in seinen »Disquisitiones« abschließend behandelt.

Eine der Aufgaben von Qin Jiushao lautet wie folgt:

Drei Bauern (A, B, C) ernten auf ihren Feldern jeweils die gleichen Mengen an Reis. Diesen bieten sie an verschiedenen Orten zum Kauf an; dort gelten jeweils unterschiedliche Volumeneinheiten. A verkauft seinen Reis auf dem offiziellen Markt seiner eigenen Präfektur, wo in Einheiten von 1 hu = 83 sheng gemessen wird; ihm blieben 32 sheng übrig. B bietet seinen Reis den Dorfbewohner von Anji an; dort wird in Einheiten von 1 hu =  110 sheng gerechnet. Er hat danach noch 7 tou (= 70 sheng) übrig. C verkauft seinen Reis an einen Zwischenhändler aus Pingjiang, wo eine Einheit 1 hu =  135 sheng entspricht; er hat noch 3 tou (= 30 sheng) übrig.
Wie viel Reis hatte jeder Bauer ursprünglich und wie viel hat jeder verkauft?

Lösung: Jeder der drei Bauern hatte 2460 tou (= 24 600 sheng) Reis geerntet. A konnte 296 hu von jeweils 83 sheng verkaufen, also 24 568 sheng, und hatte 32 sheng übrig. B verkaufte 223 hu von jeweils 110 sheng, also 24 530 sheng, und es blieben ihm 70 sheng. C verkaufte 182 hu von jeweils 135 sheng, also 24 570 sheng, und hatte 30 sheng übrig.

Zweites Kapitel

Das zweite Kapitel des »Shushu jiuzhang« enthält Aufgaben über »Himmelserscheinungen«. Das sind Probleme, die mit astronomischen Rechnungen zusammenhängen, wie die Bestimmung von Schattenlängen an bestimmten Orten oder die Sichtbarkeitsphasen des Jupiters, aber auch mit Niederschlagsmessungen.

Drittes Kapitel

Im dritten Kapitel beschäftigt sich Qin Jiushao mit Flächenbestimmungen. Für die Lösung der ersten Aufgabe, der Flächenbestimmung eines Drachenvierecks, gibt er eine bemerkenswerte Beziehung an:

Für den Flächeninhalt X =  √A +  √B der abgebildeten Figur gilt eine Gleichung vierten Grades −X4 + 2·(A + BX2 − (A − B)2 = 0, wobei durch A =  (a2 − c2/4)· c2/4 und B =  (b2 − c2/4)· c2/4 jeweils das Quadrat des Flächeninhalts der beiden Teilflächen berechnet wird.

Diese biquadratische Gleichung gilt übrigens auch für den Flächeninhalt X eines Kreisrings, wobei A, B die Quadrate der Flächeninhalte des äußeren beziehungsweise des inneren Kreises sind.

Für den Flächeninhalt S eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c gibt Qin Jiushao die Formel \(S = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \left[c^2 \cdot a^2 – \left(\frac{c^2 +a^2 -b^2}{2} \right)^2\right]} \) an – was ist nichts anderes als die Heronische Flächenformel ist. Auch entwickelte er eine Formel, mit der man den Flächeninhalt eines Vierecks aus den Längen der vier Seiten und einer der Höhen ermitteln kann.

Viertes Kapitel

Im vierten Kapitel beschäftigte sich Qin Jiushao mit der Bestimmung von Entfernungen von unzugänglichen Punkten. In diesem Zusammenhang betrachtete er eine Aufgabe, zu der er vermutlich durch ein Problem aus »Jiuzhang suanshu« angeregt wurde. Dort heißt es:

Bei einer Stadt mit quadratischem Grundriss steht in einer Entfernung von 20 bu vom Nordtor ein Baum. Geht man vom südlichen Stadttor 14 bu nach Süden und dann um 1775 bu nach Westen, dann sieht man den Baum hinter der nordwestlichen Ecke der Stadtmauer.

Qin Jiushaos Aufgabe lautet:

Eine kreisförmig ummauerte Stadt mit unbekanntem Durchmesser hat Tore in den vier Himmelsrichtungen. Drei Li nördlich des Nordtors steht ein Baum. Wenn man sich umdreht und unmittelbar nach dem Verlassen des südlichen Tors neun Li in Richtung Osten geht, kommt der Baum gerade in Sicht. Bestimme den Umfang und den Durchmesser der Stadtmauer.

Ohne weitere Kommentare und Hinweise gibt Qin Jiushao an, dass das Problem auf die Gleichung x10 + 15x8 + 72x6 − 864x4 − 11664x2 − 34992 = 0 führt, also eine Gleichung zehnten Grades, wobei er den Durchmesser mit x2 bezeichnet. Die Lösung lautet: x2 = 9.

Kapitel fünf bis acht

Die Kapitel 5, 6, 7 und 8 enthalten ähnliche Aufgaben, wie sie bereits in »Jiuzhang suanshu« enthalten sind, unter anderem zu den Themen:

  • Steuern: Berechnung der Steuerlast;

  • Geld: Bestimmung des Umtauschkurses von Papiergeld (Papiergeld wurde in China erfunden, ausgegeben wurde es zum ersten Mal im Jahr 1024, als das Münzgeld knapp wurde), Kosten für den Transport von Getreide;

  • Festungsbau und Gebäude: Materialaufwand für den Bau einer Festung, Aushub für den Bau eines Kanals, Anlegen eines Deichs;

  • Militär: Planung von Armeelagern und Schlachtformationen.
  • Am Ende des achten Kapitels findet man die folgende Aufgabe:

    In einem Warenlager ist eine gewisse Anzahl von Baumwollballen gelagert, aus denen eine bestimmte Anzahl von Armeeuniformen hergestellt werden soll. Nimmt man jeweils 8 Ballen, um Kleidung für 6 Soldaten herzustellen, dann fehlen 160 Ballen. Nimmt man jeweils 9 Ballen, um Kleidung für 7 Soldaten herzustellen, dann bleiben 560 Ballen übrig. Gesucht ist die Anzahl der Baumwollballen und die Anzahl der Soldaten, die eingekleidet werden sollen.

    Bezeichnet man mit der Variablen x die Anzahl der Ballen und mit y die Anzahl der Soldaten, dann ergeben sich die beiden Gleichungen x = y/6·8 − 160 und x = y/7·9 + 560. Diese führen zu der Lösung x =  20 000 und y =  15 120. Qin Jiushao löst die Aufgabe in einer allgemeinen Form, die an die Cramersche Regel erinnert (benannt nach Gabriel Cramer, 1704–1752). Ein solcher allgemeiner Ansatz wird danach erst wieder durch den japanischen Mathematiker Seki Kowa (1642–1708) veröffentlicht, der zehn Jahre vor Gottfried Wilhelm Leibniz die Determinanten-Methode entwickelt.

    Neuntes Kapitel

    Im neunten Kapitel werden Probleme untersucht, die mit dem Handel von Waren zu tun haben und auf lineare Gleichungssysteme führen.

    Ein Händler schließt drei Geschäfte ab, die jeweils einen Betrag von 1 470 000 kuan umfassen. Beim ersten kauft er 3500 Bündel Wolle, 2200 chin (Pfund) Schildpatt und 375 Kisten Weihrauch, beim zweiten 2970 Bündel Wolle, 2130 chin Schildpatt und 3056 ¼  Kisten Weihrauch, beim dritten 3200 Bündel Wolle, 1500 chin Schildpatt und 3750 Kisten Weihrauch. Welchen Wert hat jeweils ein Bündel Wolle, ein chin Schildpatt und eine Kiste Weihrauch?

    Das Problem lässt sich als lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen darstellen. Qin Jiushao notierte die Koeffizienten in Tabellenform und löste das System durch elementare Spaltenumformungen – so wie wir es vom gaußschen Eliminationsverfahren kennen. (Lösung: x = 300, y = 180, z = 64)

    Die Rechnungen mit den Koeffizienten wurden dabei mit Hilfe des in China üblichen Abakus, des so genannten »suanpan«, durchgeführt. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass Qin Jiushao in den Tabellen der Zwischenschritte als Erster einen kleinen Kreis als Symbol für die Null notierte, während bis dahin solche Stellen einfach nur frei gelassen wurden.

    Der »suanpan« wurde auch beim Lösen von Gleichungen höheren Grades verwendet, selbst bei quadratischen Gleichungen. Das hierfür verwendete Verfahren wird in unserem Kulturraum nach dem Vorschlag von Augustus de Morgan üblicherweise als Horner-Schema bezeichnet – benannt nach dem englischen Mathematiker William George Horner, der diese Methode im Jahr 1819 der Royal Society vorlegte (zehn Jahre zuvor hatte sie bereits der italienische Mathematiker Paolo Ruffini veröffentlicht).

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