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Ist das Produkt der "äußeren" Zahlen immer um 1 kleiner als das Quadrat der "inneren"?

Der Beweis wird noch klarer, wenn die Zahlen mit (a-1), a und (a+1) bezeichnet werden.

Man erkennt sofort, dass das Produkt der dritten binomischen Formel entspricht, also a²-1 ist. q.e.d.

Viele Grüße
Arnold Nipper, arnold@nipper.de

Ist das Produkt der "äußeren" Zahlen immer um 1 kleiner als das Quadrat der "inneren"?

Der Beweis wird noch klarer, wenn die Zahlen mit (a-1), a und (a+1) bezeichnet werden.

Man erkennt sofort, dass das Produkt der dritten binomischen Formel entspricht, also a²-1 ist. q.e.d.

Viele Grüße
Arnold Nipper, arnold@nipper.de

Vielen Dank für viele nette mathematische Rätsel, die helfen, Im Kopf ein wenig fit zu bleiben!
Vielleicht darf ich folgendes anmerken: Wenn in der Beweisführung die drei benachbarten Zahlen nicht mit a, a+1, a+2 umschrieben werden, sondern mit a-1, a, a+1, führt das Produkt der beiden Nachbarzahlen sehr schnell zur 3. binomischen Formel: (a+b)*(a-b) = a*a - b*b (mir fehlt hier die Möglichkeit, Quadratzahlen/Potenzen zu schreiben) => (für b=1) a*a - 1. Was zu beweisen war.
Zugleich zeigt dies ganz allgemein für alle anderen Zahlen-Triple, die in gleichem Abstand aufeinander folgen, dass das Produkt der beiden äußeren Zahlen um das Quadrat ihres Abstandes zur mittleren Zahl kleiner ist als das Quadrat der mittleren Zahl: a*a - b*b

Die Regel gilt für sämtliche Zahlen. Dahinter steckt die dritte Binomische Formel. Nennt man die mittlere Zahl b, dann gilt immer: (b-1)(b+1)=b^2-1. Die Regel ist nicht auf natürliche Zahlen oder ganze Zahlen beschränkt.

In dem Fall ist a = n unb b = 1
(n - 1).(n + 1) = n^2 - 1

(5 - 1).(5 + 1) = 5^2 - 1

VG
Benoit

Mir hat Ihr Artikel über das Auswahlaxiom gut gefallen. Über folgende Sätze bin ich aber etwas gestolpert. Es geht um die Menge (0,1): "Laut Wohlordnungssatz hat diese Menge ein kleinstes Element – aber welches? Was ist die kleinste Zahl, die größer ist als 0? Darauf gibt es in der Standardmathematik keine Antwort"
Beim Wohlordnungssatz geht es aber darum, die Menge anders zu ordnen als vielleicht vorher, und bezüglich dieser (neuen) Ordnung hat dann jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element, also auch die Menge selbst. Man könnte sich hier zum Beispiel ein beliebiges Element x aus (0,1) aussuchen, die Menge (0,1) ohne x wohlordnen und dann x < y für alle y in (0,1) ohne x definieren. Das gibt dann eine Wohlordnung auf (0,1), und x ist bezüglich dieser Ordnung das kleinste Element von (0,1).
So etwas ähnliches können Sie aber auch ohne Wohlordnungssatz erreichen: Wir setzen die übliche Ordnung auf (0,1) ohne x zu einer Ordnung auf (0,1) so fort, dass x < y für alle y in (0,1) ohne x definiert wird. Das gibt dann eine neue Ordnung auf (0,1) bezüglich derer x das kleinste Element ist. Anders als bei der Wohlordnung oben gibt es dann aber kein nächstgrößeres Element von x, weil es in (0,1) ohne x kein kleinstes Element gibt ( bei der Wohlordnung oben schon).

Die Betonung und Schwierigkeit beim Wohlordnungssatz liegt also darin, dass nicht nur die Menge selbst, sondern dass jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

Es gibt ja weitere Axiomsysteme wie z.B. Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG), New Foundations (NF),
Scottsches Axiomensystem, ...

Wenn man die Beschreibbarkeit der Welt durch Mathematik betrachtet, dann sind scheinen Axiomsysteme in gewisserweise eine vergleichbare Stellung zu haben wie die Naturgesetze.

Mich würde interessieren, ob
- es Untersuchungen darüber gibt ob die verschiedenen Axiomsysteme in Bezug auf die Beschreibbarkeit der Welt gleich mächtig sind,
- eine Fundierung der Axiomsysteme in der Natur möglich ist.

Ein Beitrag zu diesem Thema wäre interessant.

Mit freundlichen Grüßen --- Peter Zwiauer

Ihre Lösung ist ungenau, denn 25/49 entspricht nicht 51% sondern etwas mehr, nämlich 51,02040616%

Ich habe die grünen Flächen als Dreiecke genommen. ADie Seitenlänge definiere ich als 1, ist unerheblich. Die Höhe des äußersten ist 1/7*√2, die Breite 2/7*√2.
Die Höhe des zweiten orangenen Dreiecks ist 2/7*√2, die Breite 4/7*√2. Die Höhe des dritten grünen Dreiecks ist 3/7*√2, die Breite ist 6/7*√2.
Das grüne Viereck ist die Differenz aus dem dritten Dreiecks und dem 2. Dreieck. Dann werden die Flächen der grünen Figuren addiert und mit 2 multipliziert. Die Differenz 1 - grüne Fläche ist dann die orangene Fläche
2*1/2*(4/49 + 36/49 - 16/49) = 24/49 orange, 1 - 24/49 = 25/49 grün.

Hallo.
Ich denke, da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen.
"Folglich sind (10 · 1 + 4 · 1/2 + 2 · 1/4)/(18 · 1 + 12 · 1/2 + 2 · 1/4) = *12,5/24,5*" nicht 25/49
Also.. Das Verhältnis stimmt natürlich. Das Zwischenergebnis wären allerdings halbe Quadrate.

MfG


Roy

https://www.spektrum.de/raetsel/wie-viel-prozent-des-quadrats-sind-orange/2225094

Es gibt noch ein weiteres Verfahren: Doppelter Pukelsheim.
Diese Methode
- bevorteilt (ein bisschen) die kleinen Parteien
- wird teilweise in der Schweiz eingesetzt
- wurde an der Uni Augsburg entwickelt

„Es gibt keinen gebräuchlichen Namen für die Zahl, bei der 40 Nullen auf eine 1 folgen.“

Doch, zum Beispiel 正 (zhèng im Chinesischen, sei im Japanischen). Besonders bemerkenswert, weil es keine zusammengesetzten Zahlworte sind, sonder wirklich eigene Namen. Und es würde mich nicht wundern, wenn man ähnliches noch in weiteren Sprachen findet.

Ein sehr netter Beitrag von Harals Lesch:
https://www.ardmediathek.de/video/alpha-centauri/was-ist-radosophie/ard-alpha/Y3JpZDovL2JyLmRlL2Jyb2FkY2FzdC9GMjAxN1dPMDAzNDE1QTA

Die Idee ist von "de Jager" aber sehr schön von Lesch verpackt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Cornelis_de_Jager

Liebes Spektrum-Team,
Ein einfacherer Weg für das heutige Rätsel führt über a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b) direkt zu:
2*2^222 * 2*2 = 2^x
2^225 = 2^x
Viele Grüße
Martin

Man kann die Lösung schneller erreichen, wenn man die 3. binomische Formel verwendet. Dabei setzt man den Inhalt der ersten Klammer als a und den der zweiten als b. Die Summe der beiden ist dann 2^223 und die Differenz 4. Multipliziert erhält man das Ergebnis 2^225.