Wenn wir als Kinder das erste Mal mit der Mathematik in Kontakt kommen, gehören die Symbole für die vier Grundrechenarten mit dazu. Wir lernen außerdem, dass wir Rechenoperationen in einer bestimmten Reihenfolge ausführen sollen: Die »Punktrechnung« kommt vor der »Strichrechnung«. Das alles ist nicht sonderlich schwer zu verstehen. Diese Formel allerdings schon:

Hier ist auf den ersten Blick nicht einmal klar, was man berechnen soll, und schon gar nicht, in welcher Reihenfolge. Genau genommen kann man sich auch fragen, ob es hier überhaupt etwas zu rechnen gibt. Sollen die Symbole bedeuten, dass man 72 + 3 zu berechnen und dann eine Multiplikation auszuführen hat? Aber warum ist dann so viel Platz zwischen der 7 und der 2, und was fehlt hinter dem Multiplikationszeichen?

Tatsächlich ist die Rechnung sehr einfach; sie ist nur nicht auf die Art geschrieben, wie wir es in der Schule gelernt haben. Wir sollen das Ergebnis von (7 + 2) × 3 berechnen und das ergibt 27. Die Zahlen und mathematischen Symbole sind allerdings in der sogenannten umgekehrten polnischen Notation aufgeschrieben. Das, was wir in der Schule lernen, ist die »Infixnotation«. Wir sind sie aus unserem Alltag gewohnt, aber sie kann zu Problemen führen.

Würde man zum Beispiel gebeten, das Ergebnis von 7 + 2 × 3 zu berechnen, ergibt das 13 – zumindest dann, wenn wir uns an »Punktrechnung vor Strichrechnung« halten. Wenn stattdessen die Addition vor der Multiplikation ausgeführt werden soll, müssen wir das durch den Einsatz von Klammern deutlich machen.

Ein unverfänglicheres Rechensystem

Der polnische Mathematiker Jan Łukasiewicz hat deswegen in den 1920er-Jahren eine alternative Notation entwickelt, in der die Operatoren vor den Operanden stehen: Statt 7 + 2 schreibt man + 7 2. Das sieht auf den ersten Blick zwar verwirrend aus, aber man muss – wie bei der vertrauten Infixnotation – nur lernen, was zu tun ist. Der Operator »+« für die Addition erwartet zwei Operanden, und die stehen direkt dahinter. Mit diesem System kann man auch komplexere Rechnungen eindeutig formulieren. Die Symbolfolge × + 7 2 3 lässt sich so entschlüsseln: Der Operator für die Multiplikation »×« erwartet zwei Operanden, die direkt dahinter stehen müssen. Der erste davon beginnt aber mit dem Additionsoperator »+«, und bevor multipliziert wird, muss deswegen zuerst die Addition durchgeführt werden. Das Ergebnis ist der erste Operand der Multiplikation und die 3 der zweite. Am Ende haben wir auch hier (7 + 2) × 3 berechnet.

Das ist die polnische Notation, die ohne Klammern auskommt und trotzdem eindeutig ist. Man verwendet sie zum Beispiel in der Informatik bei Kommandozeileninterpretern und in diversen Programmiersprachen. Die umgekehrte polnische Notation funktioniert genauso, nur dass hier zuerst die Operanden und dann die Operatoren kommen. »7 2 + 3 ×« bedeutet also, dass die zwei Zahlen 7 und 2 zu addieren sind und das Ergebnis dann mit 3 multipliziert werden muss.

Auch hier braucht man keine Klammern, und so notierte Rechnungen sind für Computer leicht auszuwerten: Sie können stapelbasiert verarbeitet werden. Wenn der Computer im obigen Beispiel die 7 und die 2 eingelesen hat und dann auf das + trifft, ist klar, dass der erste Teil der Rechnung direkt durchgeführt werden kann. Mit dem Ergebnis kann sofort weitergerechnet werden. Wenn aber, wie bei der polnischen Notation, zuerst die Operatoren kommen, weiß der Computer noch gar nicht, womit gerechnet werden soll. Es müssen also noch offene Rechnungen im Speicher behalten werden; bei der umgekehrten polnischen Notation ist das nicht nötig.

Dass wir gelernt haben, so zu rechnen, wie wir es tun, ist reine Gewohnheitssache. Wenn wir wollten, könnten wir unsere Formeln auch jederzeit anders aufschreiben.