Überführung einer quadratischen Gleichung der Form \begin{eqnarray}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i,j=1}{a}_{ij}{X}_{i}{X}_{j}+a=0,\end{eqnarray} wobei A = ((a_ij)) eine symmetrische reelle (n × n)-Matrix und a ∈ ℝ ist, in eine einfacher zu lösende, zu (1) äquivalente Gleichung der Form \begin{eqnarray}\mathop{\sum ^{n}}\limits_{i=1}{\alpha }_{i}{X}_{i}^{2}+a=0\end{eqnarray} durch Einführung einer geeigneten (stets existenten) Orthonormalbasis (b₁, …, b_n) für den ℝⁿ; dabei sind die α_i die Eigenwerte von A.

Ein x = (x₁, …, x_n) (Koordinatenvektor bzgl. der kanonischen Basis des ℝⁿ) ist dann genau dann Lösung von (1), wenn \(\langle {b}_{1}\rangle, \mathrm{...},\langle {b}_{n}\rangle \) werden als Hauptachsen der durch obige Gleichungen definierten Quadrik bezeichnet.

[1] Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Springer Berlin Heidelberg New York, 1997.
[2] Weiss, P.: Lineare Algebra. Universitätsverlag Rudolf Trau- ner Linz, 1989.