Cotangens hyperbolicus, der Kehrwert der hyperbolischen

Tangensfunktion bzw. die Funktion cosh \begin{eqnarray}\coth =\frac{\cosh }{\sinh }:{\mathbb{R}}\backslash \{0\}\to {\mathbb{R}}\backslash [-1,1].\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}\coth x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}\end{eqnarray} für x ∈ ℝ \ [−1, 1].

coth ist eine ungerade und differenzierbare Funktion mit \begin{eqnarray}\coth ^{\prime} =-\frac{1}{{\sinh }^{2}}=1-{\coth }^{2}\end{eqnarray} und erfüllt für x, y ∈ ℝ \ {0} die Additions- und Summentheoreme \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\coth (x\pm y) & = & \frac{1\pm \coth x\coth y}{\coth x\pm \coth y}\\ \coth x\pm \coth y & = & \frac{\sinh (x\pm y)}{\sinh x\sinh y}\end{array}\end{eqnarray} sowie die Verdopplungs- und Halbierungsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\coth 2x & = & \frac{{\coth }^{2}x+1}{2\coth x}\\ {\coth }^{2}\frac{x}{2} & = & \frac{\cosh x+1}{\cosh -1}\\ \coth \frac{x}{2} & = & \frac{\sinh x}{\cosh x-1}\end{array}\end{eqnarray}

SetztmandieHyperbelfunktionenunddietrigonometrischen Funktionen in die komplexe Ebene fort, so gilt coth iz = − i cot z für z ∈ ℂ. Insbesondere ist coth : ℂ \{kπi \ k ∈ ℤ} → ℂ πi-periodisch. Alle obigen Formeln gelten auch für komplexe Argumente.