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Lexikon der Mathematik: Multiindex-Schreibweise

Konzept zur kompakten Notation von Objekten mehrerer Variabler.

Ein n-Multiindex i = (i1, i2,… , in) ist ein Tupel von Indizes i1, i2,… , in ∈ ℕ0. Die Länge |i| eines Multiindexes ist definiert als \(|i|:=\displaystyle {\sum }_{j=1}^{n}{i}_{j}\). Desweiteren setzt man

\begin{eqnarray}i!:=\displaystyle \prod _{j=1}^{n}({i}_{j}!).\end{eqnarray}

Sind n Variable X1, X2, … ,Xn gegeben, so setzt man

\begin{eqnarray}{X}^{i}:={X}_{1}^{{i}_{1}}{X}_{1}^{{i}_{2}}\cdots {X}_{n}^{{i}_{n}}.\end{eqnarray}

Ein beliebiges Polynom vom Grad k mit Koeffizienten in einem Körper \({\mathbb{K}}\) kann dann als

\begin{eqnarray}f(X)=\displaystyle \sum _{l=0}^{k}\displaystyle \sum _{|i|=l}{\alpha }_{i}{X}_{i}=\displaystyle \sum _{|i|=0}^{k}{\alpha }_{i}{X}^{i}\end{eqnarray}

mit \({\alpha }_{i}\in {\mathbb{K}}\) geschrieben werden. Hierbei durchläuft die zweite Summe im ersten Ausdruck alle Multiindizes der Länge l, und die Summe im zweiten Ausdruck alle Multiindizes bis zur Länge k. In analoger Weise können Potenzreihen als \(\displaystyle {\sum }_{|i|=0}^{\infty }{\alpha }_{i}{X}^{i}\) geschrieben werden.

Diese Schreibweise wird auf Ableitungen ausgedehnt. Ist i ein Multiindex, so bezeichnet Di den Differentialoperator

\begin{eqnarray}\displaystyle \frac{{\partial }^{|i|}}{\partial {x}_{1}^{{i}_{1}}\cdots \partial {x}_{n}^{{i}_{n}}}\end{eqnarray}

der Ordnung |i|, der auf Funktionen in n Variablen x1,… , xn operiert. Ein allgemeiner linearer Differentialoperator der Ordnung k kann durch

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{|i|=0}^{k}{\alpha }_{i}(x){D}^{i}\end{eqnarray}

mit Funktionen αi(x) in den Variablen x = (x1, … , xn) gegeben werden.

Weitere interessante Anwendungen sind die Multinomialformel

\begin{eqnarray}{({a}_{1}+{a}_{2}+\cdots +{a}_{n})}^{k}=k!\displaystyle \sum _{|i|=k}\frac{{a}^{i}}{i!}\end{eqnarray}

und die Taylor-Reihenentwicklung einer Funktion f in n Variablen am Punkt x ∈ ℝn

\begin{eqnarray}f(x+h)=\displaystyle \sum _{|i|=0}^{\infty }\frac{{h}^{i}}{i!}{D}^{i}f(x)\end{eqnarray}

(falls diese existiert und die Funktion f darstellt).

Multiindizes können ebenso für unendliche Tupel i = (i1, i2,…) mit ik ∈ ℕ betrachtet werden, falls für das Tupel i vorausgesetzt wird, daß nur endlich viele ik ≠ 0 sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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