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Lexikon der Mathematik: Primzahlsatz

ein Satz über die Asymptotik der Primzahlfunktion, der wie folgt lautet:

Für x ≥ 1 bezeichne π(x) die Anzahl aller Primzahlen p mit px. Dann gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }\frac{\pi (x)\mathrm{log}x}{x}=1.\end{eqnarray}

Anders formuliert bedeutet dies, daß \begin{eqnarray}\pi (x)=\frac{x}{\mathrm{log}x}(1+R(x)),\end{eqnarray}

wobei für das Restglied R(x) gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }R(x)=0.\end{eqnarray}

Diese Asymptotik der Primzahlfunktion wurde von Gauß und Legendre anhand der ihnen zur Verfügung stehenden Primzahltafeln vermutet.

Aufbauend auf Ergebnisse von Tschebyschew zeigten Hadamard und de la Vallee-Poussin genauer, daß es positive Konstanten C1 und C2 gibt mit \begin{eqnarray}\frac{{C}_{1}}{\mathrm{log}x}\le R(x)\le \frac{{C}_{2}}{\mathrm{log}x}.\end{eqnarray}

Bessere asymptotische Formeln für π(x) erhält man, wenn man im Primzahlsatz den Ausdruck \(\frac{x}{\mathrm{log}x}\) durch den Integrallogarithmus \begin{eqnarray}\text{Li}x:=\displaystyle \underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\mathrm{log}t}\end{eqnarray}

ersetzt. Man zeigt nämlich leicht, daß \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\text{Li}x=\frac{x}{\mathrm{log}x}(1+s(x)), & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }s(x)=0.\end{array}\end{eqnarray}

Genauer noch gibt es eine Konstante C > 0 mit \begin{eqnarray}s(x)\le \frac{C}{\mathrm{log}x}\end{eqnarray}

für x ≥ 2. Damit schreibt sich der Primzahlsatz in der Form π(x) = Li x + r(x),

und für das Restglied r(x) gilt \begin{eqnarray}|r(x)|\le {K}_{1}x\exp (-{K}_{2}\sqrt{\mathrm{log}x}),\text{}x\ge 2\end{eqnarray} mit positiven Konstanten K1 und K2.

Basierend auf Ideen von Riemann konnten Hadamard und de la Vallée Poussin 1896 unabhängig voneinander den Primzahlsatz beweisen. Er spielt eine wichtige Rolle bei Untersuchungen zur Primzahlverteilung.

Der klassische Beweis des Primzahlsatzes macht wesentlichen Gebrauch von komplexanalytischen (holomorphen und meromorphen) Funktionen. Man glaubte lange Zeit nicht, daß man ihn auch „elementar“, d. h. ohne komplexe Analysis, beweisen könne, bis 1948 Atle Selberg und Paul Erd os˝ unabhängig voneinander einen solchen „elementaren“ (aber ziemlich komplizierten) Beweis erbringen konnten.

Es wird heute vermutet, daß folgende wesentlich bessere Restgliedabschätzung gilt. Zu jedem ϵ > 0 existiert eine Konstante C(ϵ) > 0 mit \begin{eqnarray}|s(x)|\le C(\varepsilon ){x}^{-{\scriptstyle \frac{1}{2}}+\varepsilon },\,\text{}x\ge 2.\end{eqnarray}

Äquivalent hierzu ist die Riemannsche Vermutung, siehe auch Riemannsche ζ-Funktion.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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