die„Einbettung” eines normierten Raumes (X, || · ||) in einen vollständigen normierten Raum (Banachraum).

Dazu erklärt man auf der Menge CF(X) aller Cauchyfolgen auf X durch

\begin{eqnarray}({x}_{n})\sim ({y}_{n}):\iff ||{x}_{n}-{y}_{n}||\to 0\end{eqnarray}

eine Äquivalenzrelation. Die Vervollständigung χ von X ist dann die Menge der Äquivalenzklassen bzgl „˜”. (χ, || · ||’) mit

\begin{eqnarray}||[({x}_{n})]|{|}^{\prime}:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}||{x}_{n}||\end{eqnarray}

ist dann ein vollständiger normierter Raum, in dem X in natürlicher Weise dicht eingebettet ist:

\begin{eqnarray}X\to {\mathcal{X}};\,\,\,\,x\mapsto [(x)],\end{eqnarray}

d. h., man identifiziert die Elemente aus X mit den Äquivalenzklassen der konstanten Folgen. Siehe auch Vervollständigungssätze.