Wie viele Punktepaare haben denselben Abstand, wenn man sie in einer Ebene platziert? Diese harmlos anmutende Frage beschäftigt Mathematikerinnen und Mathematiker seit mehr als 80 Jahren. »Es ist das wohl bekannteste und am einfachsten zu erklärende Problem der kombinatorischen Geometrie«, heißt es im 2005 erschienenen Buch »Research problems in discrete geometry«.

Jahrzehntelang herrschte die Überzeugung vor, dass quadratische Punktanordnungen die Anzahl gleicher Abstände maximieren. Doch nun hat ein noch nicht veröffentlichtes KI-Sprachmodell von OpenAI, der Firma hinter ChatGPT, diese Annahme widerlegt. »Das ist wirklich unglaublich«, schreibt der Kombinatoriker Gil Kalai von der Hebräischen Universität in Jerusalem in seinem Blog. »Es könnte durchaus ein wissenschaftlicher Meilenstein sein, dessen Bedeutung über die Kombinatorik und die Mathematik hinausgeht.«

1946 veröffentlichte der Mathematiker Paul Erdős das »Unit Distance Problem« in der Fachzeitschrift »American Mathematical Monthly«: Wie oft kann dieselbe Distanz (beispielsweise eine Distanz von 1) in einer Menge von n Punkten höchstens auftreten? Erdős selbst vermutete, dass von n Punkten in einer Ebene maximal n^1+c/loglogn Stück den gleichen Abstand haben können, wobei c eine Konstante ist. Für wachsende Werte von n läuft die Anzahl an Punkten mit gleichem Abstand auf n hinaus. Der konkrete Wert ergibt sich durch eine Konstruktion, bei der die n Punkte in einem quadratischen Gitter angeordnet sind.

»Kein bisheriger, von einer KI generierter Beweis kam dem auch nur annähernd nahe«Timothy Gowers, Mathematiker

Aber weder Erdős noch andere Fachleute konnten beweisen, dass dies wirklich der größtmögliche Wert ist, den man erreichen kann. Vielleicht gibt es ja eine andere Punktanordnung, bei der mehr Punkte denselben Abstand aufweisen? »Ich glaube, man kann mit Fug und Recht behaupten, dass jeder Mathematiker, der sich mit kombinatorischer Geometrie beschäftigt, über dieses Problem nachgedacht hat, und auch viele Mathematiker aus anderen Fachgebieten zumindest einige Zeit damit verbracht haben, darüber nachzudenken«, sagte der Mathematiker Noga Alon von der Princeton University.

Doch nun hat ein noch nicht veröffentlichtes KI-Modell Erdős’ Vermutung widerlegt – indem es unendlich viele Fälle präsentierte, bei denen die Punktanordnung eine höhere Anzahl an gleichen Abständen aufweist. Die Anzahl an Punkten mit gleicher Distanz entspricht in diesen Fällen n^1+δ, wobei δ eine feste Konstante größer als Null ist, die nicht von der Gesamtzahl der Punkte n abhängt. Tatsächlich konnte der Mathematiker Will Sawin von der Princeton University im Nachgang zeigen, dass δ für einen Spezialfall den Wert von 0,014 hat.

Der KI-Beweis, der bereits von verschiedenen Fachleuten geprüft wurde, fußt auf Methoden der algebraischen Zahlentheorie – ein Bereich, der auf den ersten Blick wenig mit dem kombinatorischen Problem zu tun hat. Der Beweis ist »elegant und raffiniert«, urteilte Alon. Und auch der renommierte Kombinatoriker Timothy Gowers von der University of Cambridge sagte: »Kein bisheriger, von einer KI generierter Beweis kam dem auch nur annähernd nahe.«