Hemmes mathematische Rätsel: Das Fußballturnier
Volker Wagner aus Wermelskirchen hat zahlreiche Denksportaufgaben erfunden. Er wurde 1965 geboren, studierte in Dortmund Chemie und promovierte in Bonn. Sein folgendes Fußballturnierproblem erfand er im Februar 2004.
Bei einem Fußballturnier spielen acht Vereine mit. Dabei tritt jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere an. Für jedes Spiel werden zwei Punkte vergeben, die die Gewinnermannschaft erhält. Bei einem Unentschieden bekommt jede Mannschaft einen Punkt. Am Ende des Turniers stellt sich heraus, dass alle acht Mannschaften eine unterschiedliche Punktzahl erreicht haben und dass die zweitbeste Mannschaft ebenso viele Punkte bekommen hat wie die vier schlechtesten Mannschaften zusammen. Wie ist das Spiel der drittbesten Mannschaft gegen die fünftbeste ausgegangen?
Die Mannschaft auf dem ersten Platz kann maximal 14 Punkte erreicht haben, nämlich dann, wenn sie alle Spiele gegen ihre sieben Gegner gewonnen hat. Die zweitplatzierte Mannschaft kann dann höchstens noch 12 Punkte bekommen haben, denn das Spiel gegen die erstplatzierte muss sie verloren haben. Es ist auch nicht möglich, dass das Spiel der besten Mannschaft gegen die zweitbeste unentschieden ausgegangen ist, denn dann hätten beide 13 Punkte erhalten, was laut Voraussetzung unmöglich ist.
Die vier schlechtesten Mannschaften hätten ihre niedrigstmögliche Gesamtpunktzahl erreicht, wenn sie jedes Spiel gegen die vier besten Mannschaften verloren hätten. Diese Gesamtpunktzahl beträgt dann 0 + 2 + 4 + 6 = 12 Punkte. Wie die einzelnen Spiele der vier schlechtesten Mannschaften untereinander ausgegangen sind, spielt keine Rolle. Diese Ergebnisse beeinflussen die Gesamtpunktzahl nicht.
Die Gesamtpunktzahl der vier schlechtesten Mannschaften soll gleich der Punktzahl der zweitbesten Mannschaft sein. Da die minimale Gesamtpunktzahl der vier schlechtesten Mannschaften gleich der maximalen Punktzahl der zweitbesten Mannschaft ist, muss die Gesamtpunktzahl der vier Letztplatzieren tatsächlich 12 und die Punktzahl der Zweitplatzierten auch tatsächlich 12 sein. Folglich haben die vier schlechtesten Mannschaften jedes Spiel gegen die vier besten verloren und somit auch die fünfbeste das Spiel gegen die drittbeste.
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