Hemmes mathematische Rätsel: Der Bruch aus Brüchen
Nicolas Chuquet wurde zwischen 1445 und 1455 in Paris geboren. Er studierte Medizin, arbeitete ab etwa 1480 in Lyon als Rechenmeister, Schreiber und Kopist und starb 1487 oder 1488. Sonst ist kaum etwas über sein Leben bekannt. Chuquet wäre längst völlig in Vergessenheit geraten, hätte er nicht das erste französische Buch über Algebra geschrieben. Es trägt den Titel Triparty en la science des nombres und erschien erst nach seinem Tod. Chuquet war höchstwahrscheinlich der erste Mathematiker, der die negativen Zahlen und die Null als Exponenten verwendete. Auf Chuquet gehen auch die Bezeichnungen Million, Billion, Trillion, Quadrillion und so weiter für die Zehnerpotenzen 106n zurück. Das heutige Rätsel stammt aus seiner Triparty.
Wenn der Bruch a⁄b kleiner ist als der Bruch c⁄d und a, b, c und d positive ganze Zahlen sind, ist dann der Bruch (a+c)⁄(b+d) kleiner als a⁄b, größer als c⁄d, oder liegt sein Wert zwischen a⁄b und c⁄d, oder hängt dies von den für a, b, c und d gewählten Werten ab?
In der Aufgabe wird die Ungleichung a⁄b < c⁄d vorausgesetzt. Da alle a, b, c und d positive ganze Zahlen sind, kann man die Ungleichung zu ad < bc umstellen. Nun wird zu beiden Seiten der Ungleichung ab addiert und man erhält ab + ad < ab + bc. Anschließend wird sie a(b+d) < b(a+c) und dann zu a⁄b < (a+c)⁄(b+d) umgeformt.
Statt zu beiden Seiten der Ungleichung ad < bc den Term ab zu addieren, kann man auch cd addieren. Dann wird daraus ad + cd < bc + cd, was sich zu d(a+c) < c(b+d) und anschließend zu (a+c)⁄(b+d) < c⁄d umformen lässt.
Folglich liegt der Wert des Bruches (a+c)⁄(b+d) für alle positiven Werte von a, b, c und d stets zwischen a⁄b und c⁄d.
Schreiben Sie uns!