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Hemmes mathematische Rätsel: Welche Augenzahlen sind auf den zwei Würfeln zu sehen?

Man kann immer nur je drei Seiten eines Würfels sehen. Die sichtbare Gesamtaugenzahl zweier Würfel beträgt 27. Welche Augenzahlen kann man sehen?
Würfel

1970 gründeten die beiden bekannten russischen Wissenschaftler Andrei N. Kolmogorov und Isaak K. Kikoyin die Zeitschrift »Kvant«, in der von Fachautoren auf anschauliche Weise über aktuelle Themen der Mathematik und der Physik für ein breites Publikum geschrieben wird. Die Zeitschrift wurde ein so großer Erfolg, dass ab 1990 auch eine amerikanische Ausgabe mit dem Titel »Quantum« erschien. 1997 stellte ein anonymer Autor darin folgendes Rätsel:

Zwei gewöhnliche Spielwürfel liegen vor Ihnen auf dem Tisch. Wenn Sie die Würfel und sich selbst nicht bewegen, können Sie von jedem Würfel nur drei Seiten sehen. Die Gesamtaugenzahl auf den sechs sichtbaren Seiten beträgt 27. Welche Augenzahlen sind auf den beiden Würfeln zu sehen?

Die größte Augensumme, die man auf einem Würfel sehen kann, ist 4 + 5 + 6 = 15. Da die gesamte sichtbare Augensumme 27 beträgt, gibt es für die beiden Würfel nur die Möglichkeiten 12 + 15 oder 13 + 14.

Die Augensumme 13 kann durch 3 + 4 + 6 oder durch 2 + 5 + 6 erreicht werden. Beide Fälle sind aber unmöglich, da 3 und 4 und auch 2 und 5 auf sich gegenüberliegenden Würfelseiten sitzen und darum nur jeweils eine davon sichtbar sein kann.

Die Augensumme 12 kann man durch 1 + 5 + 6, 2 + 4 + 6 und 3 + 4 + 5 erreichen, wovon aber die erste und die letzte ausscheiden, weil 1 und 6 und weil 3 und 4 auf sich gegenüberliegenden Seiten sitzen.

Folglich sieht man auf dem einen Würfel 4, 5 und 6 Augen und auf dem anderen 2, 4 und 6 Augen.

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