Hemmes mathematische Rätsel: Welchen Wert hat dieser Bruch?
Presh Talwalkar hat Mathematik und Wirtschaftswissenschaften an der Stanford University in Kalifornien in den USA studiert. Er hat einige Bücher über mathematische Knobeleien geschrieben, darunter das im Jahr 2015 erschienene dreibändige Werk „Math Puzzles“. Talwalkar betreibt auch im Internet seit 2007 den Denksport-Blog „Make Your Decision“. Am 6. September 2022 stellte er seinen Leserinnen und Lesern auf seiner Seite ein ungewöhnliches Bruchrechnungsproblem. Es ist eine Variante einer Aufgabe, die am 8. April 2022 von „SQRT“ bei @mathisstillfun auf Twitter erschien.
In diesem Mehrfachbruch gibt die Länge der Bruchstriche ihre Rangfolge an. Der oberste Bruchstrich ist also der Hauptbruchstrich und der unterste Bruchstrich der Nebenbruchstrich mit dem niedrigsten Rang. Welchen Wert hat der Bruch?
Den Mehrfachbruch mit den vielen Einsen kann man auch kürzer als 10/(9/(8/(7/(6/(5/(4/(3/(2/1)))))))) schreiben. Der letzte Bruch davon hat den Wert a2 = 2/1 = 2 und der drittletzte den Wert a4 = 4/(3/a2) = 4/(3/2) = (2 · 4)/3 = 8/3. Für den fünftletzten Bruch erhält man a6 = 6/(5/a4) = 6/(5/(8/3)) = (2 · 4 · 6)/(3 · 5) = 16/5. Entsprechend ergeben sich a8 = (2 · 4 · 6 · 8)/(3 · 5 · 7) und a10 = (2 · 4 · 6 · 8 · 10)/(3 · 5 · 7 · 9). Dabei ist a10 der gesamte Mehrfachbruch. Er kann zu 256/63 ≈ 4,0635 zusammengefasst werden.
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