Hemmes mathematische Rätsel: Wie lang sind dann die Seiten des Quadrats?
Lässt sich ein regelmäßiges Sechseck der Seitenlänge 1 so in ein Quadrat zeichnen, dass es jede Seite des Quadrats mindestens einmal berührt? Das Sechseck darf dabei nicht über die Seiten des Quadrats hinausragen. Sollte dies möglich sein, wie lang sind dann die Seiten des Quadrats?
Das Sechseck berührt alle vier Seiten des Quadrates, wenn die Mittelpunkte M der beiden Figuren zusammenfallen und eine Diagonale HI des Sechsecks auf einer Diagonale AC des Quadrates liegt. Das Dreieck EMF ist gleichseitig und hat die Seitenlänge 1. Seine Höhe GM kann man mit dem Satz des Pythagoras zu 1⁄2√3 berechnen.
Die beiden Dreiecke EGD und DGF sind rechtwinklig und gleichschenklig. Ihre Katheten EG, DG und FG haben die Länge 1⁄2. Daraus ergibt sich für die Quadratdiagonale DB eine Länge von 2(1⁄2 + 1⁄2√3) = 1 + √3. Nach dem Satz des Pythagoras bekommt man somit für die Quadratseite die Länge 1⁄2(1 + √3) √2 ≈ 1,932.
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