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Hemmes mathematische Rätsel: Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

Verteilen Sie die ganzen Zahlen von 1 bis 20 so auf die Ecken eines regelmäßigen Dodekaeders, dass die Summe der Zahlen an den 5 Ecken jeder Seitenfläche gleich groß ist.
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Die Mitglieder der mathematischen Gesellschaft der Universität Cambridge haben sich den klangvollen Namen »Archimedier« gegeben. Seit 1939 geben sie etwa einmal pro Jahr eine Zeitschrift mit dem Titel »Eureka« heraus. In der im Oktober 1949 herausgegebenen 12. Ausgabe veröffentlichte ein nicht genannter Autor das folgende Rätsel:

Verteilen Sie die ganzen Zahlen von 1 bis 20 so auf die 20 Ecken eines regelmäßigen Dodekaeders, dass die Summe der Zahlen an den fünf Ecken jeder Seitenfläche gleich groß ist. Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

Die Summe der Zahlen von 1 bis 20 ergibt 210. Jede der 20 Ecken des Dodekaeders ist Ecke von drei Seitenflächen. Somit beträgt die Summe der jeweils fünf Zahlen aller zwölf Seitenflächen zusammen 630, und auf jeder einzelnen Seitenfläche 630/12 = 5212. Da die Eckensumme aber nur ganzzahlig sein kann, ist das Problem unlösbar.

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