Kommentare - - Seite 90

ein sehr interessanter und aufschlussreicher Artikel !

Nur ein kleiner Schönheitsfehler hat sich eingeschlichen.
Schon beim ersten Blick auf die Grafik "Stöße zweier Kugeln", in der man von oben nach unten verfolgen soll, was passiert, wurde mir etwas mulmig. Und auch wenn die Grafik nur symbolisch ist, sind doch die Kugeln zumindest in unserer Alltagsvorstellung nicht unendlich klein; so wie eben dargestellt.
Wieso sollten nun eine gleich schwere Kugel nach der Übertragung ihrer Bewegungsenergie durch den Stoß gegen die andere Kugel noch ihren Ort wechseln ? Bei Reibungsfreiheit würde die von links kommende blaue Kugel am Ort ihrer Berührung der roten Kugel zum Stillstand kommen.
Laut der Grafik: Der Zusammenstoß findet einen Kugelradius weiter rechts statt, und während der Bewegung der roten Kugel nach rechts ist die blaue Kugel erneut einen Kugelradius weiter rechts dargestellt. Bei der Rückkehr der roten Kugel spielt sich das ganze rückwärts ab, die Kugelorte bei Zusammenstoß und danach sind also wieder verschoben.
Diese Darstellung ist falsch, und sollte bitte korrigiert werden.

Freundliche Grüße aus der Stadt der Magdeburger Halbkugeln ;-)
Martin Nischang

Der mathematische Beweis, dass die optimale Zugzahl beim klassischen Turm von Hanoi (so der ursprüngliche Name) mit n Scheiben 2n -1 beträgt, ist zwar leicht, aber doch nicht so leicht wie im Beitrag "Die Türme der Apokalypse" von Florian Freistetter (Spektrum 2.22, S. 87) angedeutet.
Dort wird nämlich die unbewiesene Annahme verwendet,
dass die größte Scheibe nur einmal bewegt wird. Das ist zwar in diesem Fall wahr, nicht aber im allgemeinen. Will man z.B. eine Verteilung von drei Scheiben, in der die größte auf der ersten Stange liegt, die beiden anderen auf der zweiten, überführen in die umgekehrte Situation, also mit der größten Scheibe auf der zweiten Stange, den beiden kleineren auf der ersten, so läuft die größte Scheibe zweimal in der einzigen optimalen Lösung (der Länge 5). Die mathematische Theorie des Turms von Hanoi ist inzwischen ein
aktives Teilgebiet der Diskreten Mathematik geworden. Man findet vieles hierzu in dem Buch "The Tower of Hanoi-Myths and Maths" von Andreas M. Hinz, Sandi Klavzar und Ciril Petr, das 2018 in zweiter Auflage bei Birkhäuser in Cham erschienen ist.

Von Schülerinnen und Schülern oft unbeliebt und oft unterschätz: Schreiben in Brüchen. Damit könnten man die Uneindeutigkeit der obigen Aufgabe ebenfalls eindeutig umgehen und die beiden enthaltenen Gleichungen unmissverständlich ausdrücken. 8/2(2+2) oder 8/2 x (2+2)

Sehr geehrter Herr Freistetter,
es herrscht keine Einigkeit oder Meinungshoheit über die Eindeutigkeit der Lesart, darüber also, ob der weggelassene Punktoperator gleichrangig oder vorrangig zu lesen ist [(a/b)c) oder a/(bc)].
Viele fragen nicht nach Absicht oder Intention hinter der Notation und interpretieren strikt PEMDAS folgend den fehlenden Operator als eine gleichrangige Multiplikation. Wolfram, Google, manche Computer Taschenrechner lesen also automatisch (a/b)c .
Libreoffice Calc fragt immerhin nach, ob die eingegebene Formel in diese Richtung korrigiert werden soll.
Unterstellt man der Schreibweise allerdings Absicht, erscheint es berechtigt a/bc als a/(bc), bzw. als a/b/c, und damit bc als Nenner eines Bruches zu lesen. Der fehlende Operator wird als eine vorrangig auszuführende Multiplikation bzw. eine gleichrangige Division interpretiert. Das wissenschaftliche Kalkulationsprogramm SpeedCrunch geht ebenfalls von dieser Lesart aus.
Man sollte besser nicht über die Richtigkeit der einen oder anderen Lösung streiten, oder die eine oder andere Lesart als einzige Wahrheit präsentieren, sondern darauf hinweisen, daß immer Klammern verwendet werden sollten um internationale Eineindeutigkeit zu erzielen.

Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung.
Das dargestellte Problem ist allerdings vielmehr eines, das polarisieren soll und Aufmerksamkeit generieren. Zum einen wird das Divisionssymbol verwendet, was zumindest bei mir ab der Sekundarstufe keine Anwendung mehr fand. Dieser Term lässt sich ohne Müheso schreiben, dass er auf den ersten Blick wirklich eindeutig ist. Möglicherweise haben niedrige Klassenstufen die wenigsten Probleme damit, weil sie stark das Regelwerk befolgen und diese Bivalente Schreibweise erst gar nicht zu Gesicht bekommen. Abseits davon gibt es in den wirklich zahlreichen Begründungen für die 1 als Äquivalent des Terms die durchaus nachvollziehbare Argumentation, dass das fehlende Multiplikationszeichen an der Klammer tatsächlich stärker bindet.
Als Beispiel: 1 : (2x+2y) -> 1 : 2(x+y)
Ich kann das Prinzipienreiten auf PEDMAS (oä) verstehen. Aber das war nie Ziel der "Aufgabe". Hier geht es nicht um Aufklärung oder Lösen eines Rätsels sondern wie eingangs gesagt um Aufmerksamkeit und Kontroverse durch eine oberflächlich mehrdeutige und nicht gebräuchliche Schreibweise.
Danke

Die Lösung im Blog Nr. 22 im Februar 2000 muss für ein anderes Rechteck gewesen sein, da der Flächeninhalt für das Rechteck 39*46=1794 ist, aber nun die Summe der Quadratzahlen von 1 bis 22 nun nach der bekannten Formel (1/6)* n*(n+1)*(2n+1) = 3795 ist.

Nun ist anzunehmen, dass hier als Lösung (für n=22) ein Rechteck gesucht wird, was möglichst nah an einem Quadrat ist (d.h. die Unterschiede zwischen den beiden Seitenlängen möglichst klein, aber ganzzahlig ist). Da nun das kleinste Quadrat (mit ganzzahligen Seitenlänge), welches einen Flächeninhalt größer als 3795 hat, nun das Quadrat mit Seitenlänge 62 ist (62*62=3844), wird das Rechteck nun außerdem eine Seitenlänge nun größer als 62 haben (und die andere entsprechend kleiner als 62). (Für die Aufgabe dieses Rätsels mit n=17 wäre z.B. nun das kleinste ganzzahlige Quadrat mit einem größeren Flächeninhalt als die Summe der Quadrate nun 43*43=1849, da eben die Summe der Quadrate mit Seitenlängen 1 bis 17 nun 1785 ist -- für das Quadrat 42*42 wäre der Flächeninhalt nur 1764).

Mögliche Rechtecksgrößen wären nun z.B. 62*62, 61*63, 60*64, 59*65, 58*66, 57*67, 56*68, wobei die Flächeninhalte der Rechtecke jeweils kleiner wird. Beim Rechteck 55*69 (bei Fortführung der Folge) wären wir dann sogar beim Flächeninhalt 3795 angelangt, wobei dieser Flächeninhalt dann sogar dem Flächeninhalt der Quadrate entsprechen würde, so dass das Rechteck 55*69 nicht möglich ist (da sich mit Induktion- und Widerspruchsbeweis zeigen lassen sollte, dass man für n>1 nun aus den Quadraten kein Rechteck legen läßt, welches keine "Lücken" enthält und bei denen sich die Quadrate auch nicht überlappen).

Andere Rechtsecksgrößen außer den obigen sind natürlich auch möglich.

Deshalb bitte doch die wirkliche Rechtsecksgröße aus dem Blogeintrag von Februar 2000 raussuchen. Danke.

Die Lösungsfolge ist fehlerhaft.
Die ersten Folgenglieder: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6 und 9 sind korrekt.
Nun ist als anschließendes Folgenglied die 19 angegeben.
Allerdings ist die Rekursionsformel nun R(n)=R(n-1)+R(n-3),
so dass nun die Zahl 19 (für (R8) ) nun größer als 2*R(7) ist, was nicht sein kann. Das nächste Folgenglied muss 9+4=13 lauten, erst danach gibt es das Folgenglied 13+6=19.

Man könnte ansonsten noch kenntlich machen, dass man bei der Folge mit "nach 0 Jahren" anfängt. Sonst könnten sich noch Leser fragen, warum die Folge nun 19 Folgenglieder enthält (und nicht nur 18).

Schöner Beitrag, aber an zwei Stellen wird gesagt, dass das Kommutativgesetz aussage, die Reihenfolge der Ausführung sei egal. Aber das Kommutativgesetz handelt doch von der Vertauschbarkeit der Operatoren: a * b = b * a. Das Assoziativgesetz drückt das aus was eigentlich gemeint ist: a * (b * c) = (a * b) * c - die Reihenfolge der Ausführung ist egal.

Das Problem mit der Gleichung liegt an dem Umgang mit der Juxtaposition. Also ob man je nachdem wie das Lesen und schreiben von Formeln gelernt hat durch die Juxtaposition die Multiplikation Vorrang vor der Division bekommt oder eben nicht.
Bsp:
Ergo ob 1/2x dasselbe ist wie 1/2 · x oder als 1 / (2 · x) gelesen wird, ist dann verschieden.
Der Hintergrund ist der gleiche wie bei den anderen Regeln man will eine gute Lesbarkeit der Gleichungen beibehalten. Und dies ist ein eleganter weg Klammern loszuwerden.

Deswegen unterscheiden sich sogar die Taschenrechner in der Hinsicht. Je nach Zielgruppe geben sie der Juxtaposition Vorrang vor der normalen Multiplikation und der Division oder behandeln sie gleich.

Es gibt tatsächlich ein unaufgeregtes Video zu dem Thema:

https://www.youtube.com/watch?v=lLCDca6dYpA

Übrigens funktioniert der Trick mit dem Umstellen nicht wirklich, wenn man der Juxtaposition Vorrang gibt müsste man 8/2(2+2) nach 8 · 1/(2 · (2 + 2)) umstellen. Man steht also wieder vor der selben Entscheidung.

Interessant (ein kurioses Schmankerl) ist auch der "natural language input" bei WolframAlpha. Momentan ist der bei dieser Frage auch etwas inkonsequent: https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F2x%2C1%2Fax
Die Eingabe "1/2x,1/ax" wird als {(1/2) x, 1/(a x)} interpretiert.

Sie sind übrigens der erste Physiker der mir die 16 als Antwort präsentiert. ^^

Eine alternative Lösungsmethode könnte so aussehen: Aussage 3 ist die Negierung von Aussage 1. Mithin ist immer eine dieser beiden Aussagen wahr, die andere falsch. Da ja immer nur eine Aussage wahr und die beiden anderen falsch sind, muss also Aussage 2 ebenfalls falsch sein. Damit ist das Gegenteil von Aussage 2 richtig, entsprechend muss das grüne Päckchen für Jaro sein.

Hallo Frau Bischoff, Sie bewerten eine absolute "Fallsterblichkeit" in China und in Italien, ohne zu berücksichtigen, ob und wie die Fälle medizinisch behandelt wurden. Frau Dr. med. Elke Austenat schreibt in ihrem Buch "Das unfassbare Virus" (https://elkeaustenat.de/das-unfassbare-virus/), daß das Virus bewußt (!) falsch (!) als SARS-Virus klassifiziert wurde, woraus falsche Behandlungsmethoden resultierten, vor allem die meist todbringende Pressluftbeatmung, der anscheinend vor allem in Bergamo zahlreiche Corona-Infizierte zum Opfer gefallen sind. Mittlerweile ist gesichert, daß das Virus nicht nur die Atemwege schädigt, sondern Multiorganversagen hervorruft, vor allem durch Thrombosen, wie auch das Virus-Imititat im Astra Zeneka-Impfstoff. Eine Statistik, die nicht die Voraussetzungen der betrachteten Fälle berücksichtigt, ist wertlos und auf Sand gebaut. Da hilft auch keine Mathematik weiter.

Es gibt eine weitere Lösung, bei der zwei Punkte zweimal durchlaufen werden. Laut Aufgabenstellung ist das aber nicht verboten. Die Lösung sieht ein wenig aus wie ein Papierflieger ohne Kopf.

Sehr geehrte Frau Neuvians,
vielen Dank für die wohlwollende Besprechung! Als Autor des Buches bin ich vermutlich etwas befangen..., aber einen Widerspruch muss ich doch einlegen: Es ist sehr wohl in allen Fachdisziplinen möglich, als Ärztin/Arzt wirtschaftlich in eigener Praxis zu arbeiten, ohne unnötige IGeL anbieten oder auf Privatpatienten angewiesen sein zu müssen. Das zeigen die einschlägigen Statistiken (wie auch etliche Beispiele aus meinem erweiterten Freundes- und Bekanntenkreis). Gute Medizin kann sich auf das Erforderliche und Nützliche beschränken und trotzdem ertragreich sein, ohne den Profit in den Vordergrund stellen zu müssen. Und die Fehlanreize im Krankenhaus (DRG, "blutige Entlassungen", "Drehtürmedizin", unnötige Kodierungen zur besseren Abrechnung) sind vermutlich ein noch größeres Übel für die Patienten wie auch für etliche Pflegekräfte und Ärztinnen/Ärzte.
Zudem ist "Choosing wisely" bisher in Deutschland kaum über Willenserklärungen hinausgekommen. Es bleibt noch viel zu tun im Gesundheitswesen - politisch, standesorganisatorisch und strukturell.
Beste Grüße
Werner Bartens

Meherer Dinge werden in diesem Artikel meines Wissens nach unterschlagen und/oder nicht richtig dargestellt:
1. Obwohl Holz bei der Verbrennung genaus viel CO2-Äquivalent verursacht wie bei fossiler Energie liegt der Unterschied darin, dass fossile Energie in Form von Erdöl oder Erdgas als gebundener Kohlenstoff in der Erde nicht im aktiven Kohlenstoffkreislauf der Atmosphäre vorhanden wären(wenn man sie nicht verbrennen würde). Bei der Verbrennung von Holz und dem Einpflanzen von gleicher Menge Bäume beträgt der effektive Ausstoß beinahe 0 aus dem aktiven Kohlenstoffkreislauf. Diese miteinander gleichzusetzen ist also fachlich nicht richtig.
2. Der absolute größte Teil der deutsche Holzpellets, der in Deutschland verbrannt wird, ist sprichwörtlich Abfall bei der Verarbeitung von Möbel und Bauteilen. Man verbrennt also Abfallprodukte, die sowie bei der Fertigung von Holzprodukten entstehen.
3. Den Transport von Holzpellets als hot spot der CO2-Äquzivalentemissionen hinzustellen kann ich noch weniger verstehen. Der Transport einer Tonne Güter pro km emititiert in einem Containerschiff 0,009kg CO2-Äquivalent. Gleiches würde in diesem Fall für jedes andere Gut gelten z.B. PV-Anlagen aus Mexiko. Bei einer angenommen Fahrt von 5000km und einer Tonne Pellets werden also 4,5kg CO2-Äquivalent emittiert.

Den einzigen Punkt den ich ohne Einwand zustimmen kann ist der der Monokulturen. Die EU bzw. der Gesetzgeber sollte hier a) genauer die Hintergründe von Holzproduzenten erfragen und b) die Holzproduzenten zwingen mehr Bäume zu pflanzen als sie fällen.

Dieser Artikel ist halbherzig recherchiert. Wieder wird ein Fakt verteufelt, ohne Alternativen bieten zu können. Der freie Markt wird gerade zum Zeiger einer falschen Wirtschaft. Holz wird richtigerweise teurer und ist ein wunderbares Naturprodukt, alle heutigen Kohlelagerstätten waren mal Wälder! Totholz oder Holz aus nachhaltig bewirtschafteten Wäldern (Kommentar 17) ist ein Heizmaterial, welches sonst im Wald verfaulen würde - mit genau derselben CO²-Abgabe! Holz, was in Häusern verbaut wird ermöglicht weitere CO²-Entnahme durch den Wald. Und da liegt unser Problem! Wir haben heute viel zu wenig Wald, weil wir ihn seit Jahrhunderten roden, ohne nachzupflanzen. Selber schafft es die Natur nicht, wir bauen auf der Fläche Kaffee, Mais und Soja an. Und diskutieren über Feinstaub, den die Natur seit Millionen von Jahren ohne Schaden produziert. Ich pflanze übrigens Bäume, weil ich heute die Bäume meiner Vorfahren ernten kann.