Kommentare - - Seite 44

Das Rätsel findet sich hier: https://www.spektrum.de/raetsel/wie-viel-kostet-das-buch-nach-der-preiserhoehung/2107155

Hm, ich stehe auf dem Schlauch. Weder sehe ich, warum sich die Zahl 12,50 ergibt, noch warum das eine Minimallösung ist. Ich habe mir folgendes überlegt:

Der alte Preis betrug a Euro und b Cent, wobei a und b nicht negative ganze Zahlen sind und b kleiner als 100 ist. Der Betrag in Cent betrug somit 100a+b. Da 104/100 = 26/25, ergibt sich für den neuen Preis 104a + (26/25)b. Er muss eine nicht negative ganze Zahl und ein Vielfaches von 100 sein.

Damit der neue Preis eine ganze Zahl ist, wobei 104a ja eine ganze Zahl ist, muss der zweite Summand ganzzahlig sein. Da 25 und 26 teilerfremd sind (s. Primfaktorzerlegung), muss 25 ein Teiler von b sein, d.h. b ist 0, 25, 50 oder 75.

Da der neue Preis104a + (26/25)b in ganze Euro umrechenbar sein soll, gibt es eine ganze Zahl k, so dass 104a + (26/25)b = 100k. Für das 25-fache dieser Gleichung gilt, dass 25*104*a und 25*100k durch 100 teilbar sind. Dann muss 25(26/25)b= 26b durch 100 teilbar sein. Wir rechnen nach:
26*0 = 0, 26*25 = 650, 26*50 = 1300 und 26*75= 1950. Als muss b entweder 0 oder 50 sein.

Angenommen b ist 0, dann folgt 26a = 25k, d.h. a muss ein Vielfaches von 25 sein.

Nehmen wir aber an, dass b = 50, dann folgt 104a + 52 = 100k. Division durch 4 ergibt 26a + 13 = 25k. D.h., dass 26a + 13 durch 25 teilbar ist. Die Liste für 26a+13 für a=0 bis 12 ergibt die arithmetische Folge

13, 39, 65, 91, 117, 143, 169, 195, 221, 247, 273, 299, 325, wobei 325 die erste durch 25 teilbare Zahl ist. Da a = 12 kleiner als 25 ist, lautet die Minimallösung a=12 und b=50. Den Fall a=b=0 schließen wir aus, da das Buch gekauft und nicht verschenkt wurde. Der Kaufpreis betrug somit 12,50 Euro.

Zur korrekten Interpretation der statistischen Angaben würde natürlich noch
zusätzlich die Angabe der betrachteten Gesamtbevölkerungszahl benötigt.
Ansonsten könnte man die Zahlen gleichermaßen sowohl als Beleg für die Wirksamkeit, als auch für die Unwirksamkeit oder gar Schädlichkeit der Impfung nutzen.

"Der Erfolg der Impfung war damals wie heute mit statistischen Zahlen unwiderlegbar; in Graz etwa waren in den Jahren 1861–1863 638 Ungeimpfte und 105 Geimpfte an Pocken erkrankt, davon starben 124 Ungeimpfte, aber nur 4 Geimpfte, wie die Grazer Zeitung berichtete."

Ich bin kein Statistiker, aber mir scheint, ohne die Angabe der Anzahl der geimpften Personen ist diese Aussage keineswegs ein Beleg für einen Erfolg der Impfung.
Im Extremfall könnten z.B. nur 105 Personen geimpft worden sein. Das würde bedeuten, 100% geimpften Personen wären erkrankt und fast 4% davon an der Erkrankung gestorben.
Im Vergleich zu den ungeimpften Personen wäre dies eine desaströse Bilanz.

Genau diese Fehler bei der Interpretation von statistischen Angaben werden oft von Impfgegnern, aber eben leider auch von Befürwortern unbewusst gemacht, oder bewusst ausgenutzt.

Der Unruh Effekt, benannt nach William Unruh, ist neben dem Schwarzschild Radius, benannt nach Karl Schwarzschild, eines der besten Beispiele in der Physik, bei dem der Name des Namensgebers gut zu der physikalischen Intuition des Phänomens passt. Der Effekt hat eine starke Beziehung zum Hawking Effekt: Ein Beobachter in einem beschleunigten Bezugssystem sieht hinter sich, d.h. entgegen der Bewegungsrichtung, einen Ereignishorizont (genannt Rindler Horizont), der umso näher ist, je stärker die Beschleunigung ist, und der im unendlichen verschwindet wenn die Beschleunigung gegen null geht. Dieser Ereignishorizont schneidet, genauso wie der Horizont eines schwarzen Lochs, Quantenfeldmoden ab, und verleiht dem Vakuum somit eine nicht-verschwindende Temperatur, die sich als Teilchenstrom manifestiert.

Es sieht aus wie ein Angriff auf das Grundgesetz und es soll auch so aussehen, ansonsten wäre es keine Provokation. Das Kernproblem ist aber, dass die LG das Grundgesetz symbolisch angreifen, weil sie das Grundgesetz falsch verstehen. Das Grundgesetz ist nicht nur für die Klimaschützer da. Auch nicht nur für Katholiken, obwohl sie doch von der Religionsfreiheit geschützt sind. Auch nicht nur für Journalisten, obwohl diese manchmal glauben im Namen der Pressefreiheit andere Gesetze missachten zu dürfen.
Die letzte Generation zeigt mit ihrer Aktion, dass sie Klimaschutz über alles andere stellt. Das gleiche machen aber auch Extremisten aller anderen Richtungen, die Religion, Nation, ihre Vorstellung von Menschenwürde, ihre Freiheit, ihr Privatleben, über alles andere stellen. Dem Nationalisten sind nationalistische Aktionen sympathisch. Der Mehrheit in Deutschland eher nicht. Ganz im Gegensatz zur Mehrheit der Menschen in Russland, China, gezwungenermaßen auch in der Ukraine, die sich vor allem ein weniger bleihaltigeres Klima wünschen. Die Provokation der LG richtet sich also gegen die Ziele und Wünsche von ganz vielen anderen Menschen. Manche regen sich darüber mehr auf, andere weniger. Aber auf keinen Fall führt das zu einer Solidarisierung der Gesellschaft, die nötig ist um große Opfer zu bringen. Dabei opfert die LG nichts, denn sie hat ja noch nichts, was sie opfern könnte. Sie glaubt ja noch nicht mal, dass sie eine Zukunft hat und träumt darum von einer bedürfnislosen Gesellschaft, in der es nicht auf materiellen Besitz ankommt, sondern auf soziale Beziehungen. Allerdings zeigen ihre Aktionen, dass sie soziale Beziehungen nicht mit Andersdenkenden meinen kann, da sie diese Beziehungen eher zerstört als sie zu fördern. Erpressung schafft keine Freunde, nur Feinde.

Leserbrief zu „Keine Panik, dem Grundgesetz geht es gut“ von Matthias Warkus, Warkus’ Welt 11.03.2023

Sehr geehrter Herr Warkus,
ihr Kommentar liest sich grenzwertig einseitig und formalistisch, wohl mit dem Ziel, aus der Aktion ein Non-Event zu machen. Ich mache zum klaren Verständnis ein anderes extremes Beispiel: Wenn wie jüngst mehrfach geschehen Bücher des Korans verbrannt werden, dann wäre das gemäß ihrer Argumentationslinie eine Umwandlung von Papier in CO2, ebenfalls angesichts der vielen Millionen existierenden Koran Exemplaren gänzlich ungeeignet, den Koran als solchen zu beschädigen oder gar zu vernichten. Warum regen sich weltweit viele über solche Provokationen auf. Es ist doch offensichtlich: Dieses ist als symbolischer Akt inszeniert und wird als solcher verstanden.
Mit der Beschmutzung des Grundgesetz Denkmals verhält es sich genauso. Es wurde ja gezielt dieses Kunstwerk ausgesucht und kein anderes Objekt. Auch die weitere Argumentation ist zumindest partiell fragwürdig: Es ist keine Verstörung des Kunstwerks, da gebe ich ihnen Recht, eine Schändung ist es allemal. Oder was qualifiziert gemäß Ihrer Meinung als Schändung?
Viele Grüsse
walter_pfaff@gmx.de

Hallo Herr Warkus.
Nein, ich hadere nicht mit Ihrer Darstellung, gehe sogar mit ihr konform.
Nur an einer Stelle habe ich einen Einspruch zu erheben, wo Sie schreiben:
" Aber diese Aktion erzürnt als Angriff auf die Verfassung zu beschimpfen, ist letztlich eine intellektuelle Beleidigung des Volkes."
Das ist, so fürchte ich, KEINE Beleidigung es Volkes als Ganzes, höchstens die Beleidigung eine kleineren Teiles dieses Volkes!

Hallo Herr Meyer,
ich hab Ihren Artikel mal durch ChatGPT gefact-checked und es war auch mathematisch alles richtig, was ich teils sogar selbst nicht mal verstanden hätte.
Bis zur Aussage, man hätte mindestens 8000 Menschen die gleich viele Haare hätten wie ich:
*Antwort ChatGPT*
Die Aussage, dass es mindestens 8000 Personen auf dem Planeten gibt, die gleich viele Haare haben, ist mathematisch nicht korrekt.

Die Argumentation, dass es mindestens 8000 Personen geben muss, die sich ein Zimmer teilen, beruht auf der Annahme, dass die Personen gleichmäßig auf die Zimmer verteilt werden. Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn die Personen versuchen, sich so aufzuteilen, dass möglichst wenige im gleichen Raum landen.

Es ist durchaus möglich, dass einige Personen aufgrund von natürlichen Variationen in der Haardichte oder anderen Faktoren eine unterschiedliche Anzahl von Haaren haben. In diesem Fall würden sich diese Personen nicht in dasselbe Zimmer begeben.

Daher ist es nicht möglich, basierend auf der Annahme, dass Personen gleichmäßig auf die Zimmer verteilt werden, zu schlussfolgern, dass mindestens 8000 Personen auf dem Planeten gleich viele Haare haben. Die Anzahl der Personen mit derselben Anzahl von Haaren ist ungewiss und hängt von vielen Faktoren ab.

___Antwort Ende___
Mich würde eure Meinung dazu interessieren also einfach Diskussion.

Wenn der Radius des kleinen Kreises 1 ist, müssen auch die Strecken BI und DI jeweils 1 betragen. Das ergibt sich daraus, dass B und D an der Tangente der beiden kleinen Kreise liegen. Und daraus folgt wiederum, dass das Quadrat 2 x BI x 1 insgesamt also 2 beträgt. Ganz easy.

Man kann mit diesem Prinzip auch tiefer in der Mathematik noch interessante Aussagen treffen. Nehmen wir den R^3. Dieser enthält überabzählbar viele Punkte, hat aber im Q^3 eine dichte, abzählbare Teilmenge. Betrachten wir die Kugeln mit rationalem Radius um die Punkte des Q^3, dann haben wir eine abzählbare Überdeckung des R^3. Wenn man so will, haben wir damit abzählbar viele Schubfächer, in die wir die überabzählbar vielen Punkte des R^3 packen können.
Jetzt schauen wir uns eine beliebige Funktion von R (oder einem Teilintervall davon) nach R^3 an. Sie bildet überabzählbar viele Punkte aus R nach R^3 ab. Da wir keine weiteren Einschränkungen machen wollen, können die Bildpunkte alle auf einen Punkt zusammenfallen oder genausogut rein zufällig im R^3 verteilt sein. Gleichwie: Wir können aus dem Schubfachprinzip folgern, dass die Funktion mindestens einen Häufungspunkt haben muss, also einen Punkt, bei dem in jeder Umgebung - egal wie klein - ein Bildpunkt der Funktion liegen muss. Das folgt einfach daraus, dass wir nicht überabzählbar viele Punkte auf abzählbar viele Schubfächer verteilen (abbilden) können, ohne dass in mindestens einem davon überabzählbar viele liegen. Und jedes Schubfach, das überabzählbar viele Punkte enthält, muss nach dem gleichen Prinzip ein kleineres enthalten, für das das wieder gilt.

Da die Diagonale des Quadrats genau so lang ist, wie der Durchmesser der inneren Kreise, ist sie 2 x Radius=2.

Als Hypotenuse eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks ist nach dem Pythagoras Satz das Quadrat dieser Linie = 2 x (A hoch 2), wobei A, die Länge der Quadratseiten ist.
Mit anderen Worten ist 2x2=2 x (A hoch 2), oder 2="A hoch 2"
Aber "A hoch 2" ist die gefragte Fläche des Quadrats. Somit ist diese Fläche=2

Fehlt in der Ungleichung für Summen nicht auf der linken Seite ein Quadratzeichen? Wenn ja, wo würde es hingehören? Innerhalb oder außerhalb des Summenzeichens?

Sehr geehrter Herr Hemme,
streng genommen existiert eine weitere Lösung. Wenn x die Kantenlänge eines der Quadrate bezeichnet und y die Diagonale, so gilt: x = R - r und y = R + r. Wegen des Satzes von Pythagoras gilt dann 2 x^2 = y^2. Das führt zu der quadratischen Gleichung u^2 -6u+1 = 0 mit u=R/r.
Diese hat die beiden Lösungen 3+2*sqrt(2) und 3-2*sqrt(2). Der erste Wert entspricht Ihrer Lösung, während der zweite einem kleinen roten Kreis im Inneren entspricht, der von den vier blauen Eckkreisen normal berührt wird, während die vier blauen Kreisen auf den Kanten des Quadrats jeweils den inneren roten Kreis umfassen und von ihm auf der Innenseite berührt werden.

Freundliche Grüße,
Hans Schnabel

Ich gebe Ihnen dahingehend recht, dass mir die heutige Mathematik in weiten Teilen ein sich selbst genügender geistiger Hochleistungssport zu sein scheint und dabei einem weit kleineren Publikum zugänglich ist als andere Sportarten. Auch ist es nach meinem Kenntnisstand sehr plausibel, dass Landau zur Überheblichkeit geneigt hat.

Andererseits fühle ich mich als studierter Mathematiker jetzt doch aufgerufen, meine Zunft zu verteidigen.

Zunächst und bei aller gebotenen Hochachtung vor Landaus Leistungen, der einflussreichste Mathematiker seiner Zeit war David Hilbert. Hilbert war es auch, der eine streng formale Grundlegung der Mathematik propagiert hat, was ihn übrigens nicht daran gehindert hat, maßgeblich zu den mathematischen Methoden der Physik beizutragen. Nun wissen wir durch Gödel, dass Hilberts Programm seine Grenzen hat. Es wenigstens nach Möglichkeit zu versuchen, finde ich aber richtig, und zwar nicht zuletzt deswegen, weil diverse andere Wissenschaften sich darauf verlassen, dass die Mathematik im Rahmen des Menschenmöglichen wasserdicht ist.

Jetzt zu der Reihenentwicklung des Sinus und Pi als dessen kleinster positiver Nullstelle: Um damit wirklich arbeiten zu können, muss man zwar nicht viel, aber doch deutlich mehr als Abiturkenntnisse haben. Woran sieht man z.B., dass der so definierte Sinus eine kleinste positive Nullstelle hat, im Unterschied dazu, dass es keine kleinste positive reelle Zahl gibt? Mit Sicherheit sind den Adressaten einer solchen Definition weder Pi noch Sinus oder Cosinus neu, sondern nur die Herangehensweise. Im Ergebnis zeigt sich dann, dass man eine präzise Definition gefunden hat, aus der die „halbanschaulich“ bekannten Eigenschaften von Pi, Sinus und Cosinus beinahe von selbst herauspurzeln. Ich finde das nicht abgehoben, sondern faszinierend.

Und was Pi als „das“ Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser angeht: Woher wissen wir, dass das für jeden Kreis dasselbe ist? Die von Polygonzügen bekannten Ähnlichkeitsbetrachtungen kann man ja frühestens dann auf gekrümmte Linien ausweiten, wenn man für letztere einen geeigneten Längenbegriff gefunden hat. Hier kommt man nicht ohne verschiedene Grenzwertbetrachtungen aus; sprich, man muss die Analysis erfinden (und natürlich die analytische Geometrie als Präzisierung der „halbanschaulichen“ Argumentationsweise der Elementargeometrie akzeptieren).

Schon Archimedes ist auf dem Weg dahin gut vorangekommen, aber der Durchbruch kam erst mit Newton und Leibniz, und hieb- und stichfest gemacht worden ist die Analysis sogar erst im 19. Jahrhundert. Streng genommen können wir also erst seit dem 19. Jahrhundert wirklich beweisen, dass der Kreisumfang Pi mal dem Kreisdurchmesser ist mit einer kreisunabhängigen Zahl Pi.

Es gibt noch eine alternative Lösung, die eventuell einfacher ausfällt. Füllt man die dunklen Dreicke mit Zacken aus, erhält man ein Achteck und 4 zusätzliche Dreiecke, bzw. Zacken bleiben übrig. Die ausgefüllte Fläche ergibt ein Achteck und die 4 Zacken entsprechen einem halben Achteck. Von dem Achteck kennen wir eine innere Diagonale d2 (siehe Wikipedia). Über diese Diagonale kann man eine Seite und damit die Fläche des Achtecks errechnen. Zur Fläche muss noch die Hälfte der Fläche additert werden (für die vier Zacken). Setzt man die Gesamtfläche zur Fläche des Kreises ins Verhältnis, erhält man auch die in der Lösung vorgestellten knapp 40%.