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Man sollte aber schon erwähnen, dass diese Unterscheidung in dieser Allgemeinheit eine subjektive und keine mathematische ist. Was heisst schon "exakt"? Der Umfang einer Ellipse mit Halbachsen a und b ist eine sehr wohl bestimmte reelle Zahl und zwar genau eine. Es lässt sich auch ein Algorithmus angeben, der für jede andere reelle Zahl sagt, ob sie größer oder kleiner ist (zB indem man das Integral hinreichend genau numerisch auswertet). Die Frage ist nur "kann ich sie auf eine Art ausdrücken, die nur "elementare" Dinge verwendet?". Bleibt die Frage, was ist "elementar"? Wahrscheinlich die natürlichen Zahlen und die vier Grundrechenarten. Wie sieht es mit der Exponentialfunktion aus? Oder Wurzeln? Oder eben Arcuscosinus (in dem Fall wäre pi = 2*arccos(0)), dann auch "elementar". Man kann dann in der Tat zeigen, dass mit diesem Satz von elementaren Dingen (Grundrechenarten plus Trigonometrie) das elliptische Integral nicht "elementar" darstellbar ist, aber nichts hält mich davon ab, auch dieses Integral zu den "elementaren" Dingen hinzuzuzählen. Der Unterschied ist nur, dass die Funktionen +-*/ in der Grundschule gelehrt werden, Trigonometrie in der Mittelstufe und elliptische Integrale meistens in der Schule nicht vorkommen (bei uns taten sie das in einem Spezialkurs über Kegelschnitte in der 11. Klasse). Eine andere, klassische, Auswahl an "elementaren" Operationen sind die, die man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann. Das sind die Grundrechenarten und die Quadratwurzel. Da gehört aber die 3. Wurzel nicht dazu, was dafür verantwortlich ist, dass man den Winkel nicht dreiteilen kann und den Würfel verdoppeln. Dass pi nicht dazu gehört, impliziert die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises. Aber wiederum muss man für "kann man nicht exakt angeben" dazu sagen, welche Funktionen man erlaubt.

Den Beitrag von Lars Fischer zum Klimaschutz möchte ich insofern ergänzen, dass nämlich neben globalen Vereinbarungen gegen die maßlose Rodung riesiger Dschungelwälder und gegen das unbegrenzte Wachstum der Weltbevölkerung unbedingt das bereits fortgeschrittene Geo-Engineering vorangetrieben werden muss. Das sogenannte Carbon Capturing soll dabei nicht nur den Kohlendioxidgehalt auf der Erde reduzieren, sondern das Treibhausgas zusätzlich wieder aus der Atmosphäre entfernen, um überhaupt das internatinale Pariser Abkommen der 1,5 °C - Grenzerwärmung der Erde zu verwirklichen. Spektrum der Wissenschaft hat mit seinen Beiträgen zum sogenannten „Carbon Dioxide Removal“ (in Heft 7/19) und der Biospeicherung "BECCS" (in Heft 4/21) Lösungen aufgezeigt. Die Welt müsste zusammenhalten, um global die Effizienz solcher "lebensnotwendiger" Verfahren zu erforschen und zu finanzieren!

Liebes Spektrum-Team,
muss die Formulierung des fünften Postulats nicht lauten:
"Zu einer Geraden kann man nicht mehr als eine Parallele ziehen, die durch einen vorgegebenen Punkt außerhalb der Geraden verläuft." (nicht: außerhalb dieser Parallele)?
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg

Wissenschaftler sind in gleichem Maße ihrer Weltanschauung und Moral unterworfen, wie andere Menschen. Für Ärzte und Virologen scheint es das schlimmste zu sein, wenn Menschen sterben. Oft scheint es, dass sie dem alles andere Unterordnen. Sie argumentieren mit Moral und jeder MUSS ihnen zustimmen. Und doch gibt es Menschen, die das anders sehen. Filme, in denen Todkranke aus dem Krankenhaus ausbrechen, um "menschenwürdig" zu sterben, feiern regelmäßig Erfolge an der Kinokasse und werden mit Preisen ausgezeichnet. Filme, in denen man alte Menschen aus der Enge eines Altenheims rettet, aus denen alte Menschen fliehen möchten, erregen kurzzeitig Mitgefühl, aber dann denkt man an die Konsequenzen die solches Verhalten für das eigene Leben bedeutet, und man entscheidet, dass Altenheime doch irgendwie besser sind. Veganer mögen keine „unbefruchtete" Eier essen, doch finden sie meist, dass Frauen ein Recht auf Abtreibung der befruchteten Föten zusteht. Ein Wissenschaftler kann solche Fragen nicht an Hand von Fakten klären, wie auch die Wissenschaft nicht entscheiden kann, ob Heterosexualität oder Homosexualität die "faktisch" bessere Lebensform ist. Das sind Fragen der persönlichen Moral, der eigenen Einstellung zum Leben, den eigenen genetisch angelegten Bedürfnissen, die zwar durch Erziehung und Verboten moduliert werden können, aber immer "ausbrechen" wollen. Weil die Menschen unterschiedlich denken und fühlen, kann es kein uniformes richtig und falsch geben, keine allgemeingültige Moral, mit der alle Menschen gleichermaßen glücklich sind.
Und darum werden sich Menschen, auf gewisse Weise immer Süchtige ihrer Bedürfnisse, gegen wissenschaftliche Ergebnisse wehren, die ihren Gefühlen, ihrer Moral und ihrer Weltanschauung widerspricht. Und sie werden auch immer Wissenschaftler finden, mit der gleichen Weltanschauung, die ihnen im Zweifel die wissenschaftlichen Ergebnisse liefert, die zu ihnen passen.

YMMD.

Danke dafür.

am besten mit Cryptowährungen.
Dann wäre die Perversion des Wertschöpfung von Vermögen aus dem wahren Nichts perfekt.

Eine Gebühr für E-Mail würde die verbleibenden User, die nicht schon längst aus Bequemlichkeit und Desinteresse an Datenschutz zu WhatsApp übergelaufen sind, in die Hände der Messenger treiben. Für den doofen Rest müsste man (staatlich?) eingreifen um die Bezahlung der Gebühr zu erreichen, und in Konsequenz den privaten Betrieb von E-Mail Servern verbieten falls sie den Obulus nicht entrichten. Zur Verfolgung “schwarzer” E-Mail Server müsste eine weitere Überwachungsstruktur aufgebaut werden.

Wer weiterhin, z.B. aus beruflichen Gründen, immer noch auf E-Mail angewiesen wäre, der würde sich den Obulus bei seinen Kunden oder der Firma für die er arbeitet einfordern und an Google entrichten. Nur warum sollte Google mit der Überwachung aufhören?

Der immense Ressourcenverbrauch liegt an den aufgeblähten Mails, verschickt und gewünscht von Usern, die sich nicht nur nicht für Datenschutz interessieren, sondern auch nicht im leisesten für die Technik. Wie Autofahren in den 50ern (was ist CO2? Klima?). Die arrogante Haltung jede Technologie benutzen zu wollen, und swar schnell, heute, und in bunt, ohne einen Strich Verantwortung für das eigene Handeln zu übernehmen, hat letztlich dazu geführt dass E-Mail nicht mehr als das effiziente, schlanke Plain Text Medium verwendet wird als das es einmal erdacht wurde.

Gut, Verschlüsselung ist ein wunder Punkt, aber eine Gebühr würde daran nichts ändern.

Bessere technische Lösungen werden nicht entstehen, weil die Struktur des IT Marktes dazu führt dass sich neue, föderierte Systeme nicht durchsetzen. Moxie Marlinspike hatte das mal deutlich beschrieben, und damit begründet warum auch Signal ein zentralisiertes System ist. Eine etablierte Altlast zu sein schützt uns also vor der Übernahme durch eine Datenkrake. Zum Glück.

Eine positive Weiterentwicklung wird sich erst ergeben, wenn der Gesetzgeber aufhört auf seinen Händen zu sitzen, und die Mechanik des Marktes zum Vorteil der Gesellschaft ändert: Leider sind Entscheidungsträger statt dessen auf Parasiten hereingefallen, die ihnen das besondere elektronische Anwaltspostfach oder De-Mail verkauft haben. Beides Systeme die Obrigkeitsdenken technisch umsetzen, und eben nicht im Sinne der Anwender sind.

Im Wettbewerbsrecht könnte man viel tun. Die oft geforderte Schriftform könnte auf Plain Text festgelegt werden, praktisch, nachhaltig, barrierefrei, frei von Viren und vollkommen ausreichend. Unternehmen die Mails verschicken, ohne eine funktionierende Empfängeradresse als Absender anzugeben, sollten schmerzhaft abgemahnt werden können. Das Auslesen von Mail, Metadaten sowie Inhalt, auch durch automatisierte Systeme und sogenannte Virenscanner, ist als Verletzung des Briefgeheimnisses zu ahnden. Unternehmen, die E-Mail Server kommerziell in der EU anbieten, müssten deren Betrieb auf europäischem Boden, durch europäische Infrastruktur und unter europäischem Recht garantieren.

Es ist auch eine Frage der Etikette. Es sollte Usus sein, Mails zu löschen die von unbekannten Absendern kommen und größer als 10kB sind. Es sollte zum schlechten Ton gehören, ungefragt Mails mit Anhängen zu verschicken.

Unter solchen Bedingungen könnte man wesentlich aggressivere Regeln für Spamfilter erstellen, ohne fürchten zu müssen relevantes zu verpassen. Wo die Zielgruppe konsequent nicht mehr erreicht wird, nimmt auch der Spam ab. Oder er passt sich an, unter den genannten Vorgaben (klein, Plain Text) wird er ökologischer und ungefährlicher.

Man könnte da endlos weitermachen, aber eine Gebühr ist jedenfalls das Letzte was wir brauchen.

Auch wenn die Presseverlautbarungen das nahe legen. "Die Wissenschaft" ist sich keineswegs so einig in der Forderung nach schärferem Lockdown. Es gibt einfach zu viele Beispiele auf der Welt, wo es auch mit geringen, bzw. ohne Maßnahmen ganz gut funktioniert und solche, wo auch härteste Maßnahmen nichts gebracht haben. Das mit zu betrachten, ist allerdings politisch unerwünscht, also wird es ausgeblendet und damit ein zentrales Prinzip guter wissenschaftlicher Arbeit außer Kraft gesetzt, nämlich daß durchaus auch einmal sein kann, was nicht sein darf. Bei dieser Debatte wird offensichtlich der Meinung (die zugegebenermaßen durchaus begründet ist) ein wesentlich zu hoher Stellenwert eingeräumt. Das ist nicht unbedingt eine Katastrophe, aber es erzeugt ebenfalls Todesfälle und viel vermeidbares Leid.

Für Einsteiger ist dieser kognitive Konflikt sicher sehr hart und kann die Entwicklung schwer hemmen besonders sich mit den Relativitätstheorien zu beschäftigen. Aber die Einführungsvorlesungen haben mit dem Levy-Civita-Tensor nocht viel mehr Probleme geschaffen. Auch wikipedia schafft da kaum Abhilfe: https://de.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita-Symbol. Erst die Kombination mit diesem Artikel: https://reference.wolfram.com/language/ref/LeviCivitaTensor.html kann langsam ein Verständnis wachsen. Besonders weil dieser einem programmatischen und mathematisierteren Ansatz bietet.

Klar kann der Level von Einführungsveranstaltungen nicht gehoben werden, weil die Curricular ohne schon überfüllt sind, aber das selbstbestimmte Niveau sollte diesen Anspruch gerechter werden. In diesem Zusammenhang zu sehr an Einstein hängen zu bleiben und auch noch die Summenkonvention hinzu zu nehmen ist eher schon arrogant und hochnäsig. Er trägt zum notwendigen Verständnis kaum bei und kann speziellen Vorlesungen überlassen werden.

Sehr wichtig bewerte ich die Darstellung als Sparsearray in einem Objektbus aus Datentypen. Hoch förderlich auch die Tensoroperationen zu erwähnen, die wohl die eigentliche Faszination darstellen, die sich Einstein in seiner Entwicklung als führender Physikmathematik der Relativitätstheorie motivierend und volitionierend und ideell gab, um für die Summenkonvention gefeiert zu werden.

Wichtig finde ich literarisch Hodge zu erwähnen, um eine weitere Zielgruppe zu eröffnen außer startenden Physikern in ihrem Methodenveranstaltungen. Ich meine mich an einen Artikel aus dieser Serie zu den Wedgeprodukten erinnern zu können, welcher den Levy-Civita-Tensor einführte. Die Reduzierung auf wesentliches, was in einen Heftartikel passt stellt dem Autor so manches Bein.

Mit Verwunderung habe ich festgestellt, dass in der 3-teiligen Reihe zweimal behauptet wurde, dass in der Quantenmechanik nur gequantelte Größen auftreten. Das ist so nicht richtig. In der Quantenmechanik werden z.B Energie und Impuls durch selbstadjungierte Operatoren beschrieben. Diese können sowohl ein diskretes als auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Betrachtet man z.B. ein Elektron und ein Proton, so hat dieses System im gebundenen Zustand diskrete Energiewerte (Wasserstoffatom). Aber auch die Streuung eines Elektrons an einem Proton wird durch die Quantenmechanik beschrieben. Hier sind die Energie- und Impulswerte nicht gequantelt. Sie können kontinuierliche Werte annehmen.
Ferner sehe ich die Rolle der Mathematik in der Physik wie folgt: Auf Grund von physikalischen Beobachtungen erarbeitet man sich eine Modellvorstellung. Dieses Modell wird mit Hilfe der Mathematik beschrieben. Aber nicht alle Aspekte der Mathematik haben auch eine physikalische Entsprechung. Eine andere Mathematik zu benutzen hat, gerade wenn sie komplizierter zu handhaben ist, nur dann einen Sinn, wenn sie andere Vorhersagen macht, die dann im Experiment zu überprüfen sind.
Ich möchte die Rolle der Mathematik in der Physik durch ein Beispiel klarer herausheben. Um die Bahnen der Planeten um die Sonne zu beschreiben, werden die Planeten mit großem Erfolg als Massenpunkt behandelt. Man kann daraus aber nicht schließen, dass die Erde ein Massenpunkt ist. Um zum Beispiel das Wetter in Braunschweig vorherzusagen, ist das Modell der Erde als Massenpunkt nicht geeignet.

Diese beiden Sätze finde ich ganz wichtig: »So genannte AI- oder KI-Systeme sind nicht intelligent, es scheint nur so, und dies, weil wir Menschen sie zu diesem Schein geschaffen haben.«
und: Dass KI-Systemen Intelligenz zugeschrieben werde, liege an der Intelligenz von Menschen. Rudolf Seising hat ein sehr kluges Buch über künstliche Intelligenz geschrieben.

Sehr geehrter Herr Freistetter,
ich lese Ihre Beiträge immer mit großem Genuss. Heute habe ich aber eine Frage: Steht die Erdachse am Frühlingsanfang wirklich senkrecht auf der Ekliptik. Die Erdachse ist doch immer gegen die Ekliptik geneigt? Deswegen haben wir ja Sommer und Winter.
MfG P. Wagner

Liebes Spektrum-Team,
auch dies ist ein sehr schöner Artikel, den ich mit großem Interesse gelesen habe.
Drei Gedanken dazu:
- Der intuitionistische Ansatz hat weitreichende Konsequenzen. Bei einem vollständigen Verzicht auf reelle Zahlen sollte es in der gesamten Physik nur noch diskret ablaufende Ereignisse geben. Jeder echt stetige Prozess ist nur mit reellen Zahlen beschreibbar.
- Bei der Beschreibung reeller Zahlen wird immer auf die unendlich vielen Nachkommastellen verwiesen. Es gibt aber auch gänzlich andere Darstellungsformen. Zumindest kann man ausgewählte Vertreter der reellen Zahlen als Zahlenreihen oder als Kettenbrüche von völlig regelmäßiger Gestalt darstellen. Man braucht nur eine einfache Bildungsvorschrift zu kennen,
um die Zahl exakt in ihrer unendlichen Vielfalt zu erfassen.
- Welchen Status haben die in der klassischen Physik reellwertigen Naturkonstanten im intuitionistischen Ansatz?

Die hier beschriebene neue Mathematik der Zeit ist ein interessanter neuer Ansatz. Es wird spannend, ob er zu einem besseren Verständnis und zur Vereinheitlichung der Physik beitragen wird.
Insgesamt waren es drei erstklassige Artikel zum Thema 'Unendlichkeit'. Ein großes Lob an die Autoren und an die Redaktion, ich wünsche mir mehr solche inhaltsreichen mathematischen Beiträge.
Herzliche Grüße,
Lutz Muche, Freiberg

"Deshalb gehört die Primfaktorzerlegung zur Komplexitätsklasse NP, die Rechenprobleme enthält, die schwer zu lösen sind, deren Antworten sich hingegen leicht überprüfen lassen."

Das ist ein typischer Fehler bei der Betrachtung von P und NP. Dass ein Problem zu NP gehört, bedeutet nicht, dass es schwer zu lösen ist. Jedes Problem in P ist auch in NP enthalten (also beispielsweise auch die Multiplikation). Was hier gemeint ist, sind die NP-vollständigen Probleme, die (falls P != NP) nicht in Polynomialzeit lösbar sind.

Die Primfaktorzerlegung großer Zahlen ist hier ein unglücklich gewähltes Beispiel, weil man nicht weiß, ob diese NP-vollständig ist.

Eine bessere Formulierung wäre "...die vermutlich nicht in P ist, also schwer zu lösen, jedoch in NP, also leicht zu überprüfen."

Es ist nicht leicht das auseinanderzuhalten, trotzdem würde ich darum bitten, das zu korrigieren. Solche Aussagen kosten Studenten in der Klausur unnötig viele Punkte. :-)

Ein Gleichdick bildet im Wankelmotor den "Kreiskolben".