Ihre Beiträge sind uns willkommen! Schreiben Sie uns Ihre Fragen und Anregungen, Ihre Kritik oder Zustimmung. Wir veröffentlichen hier laufend Ihre aktuellen Zuschriften.
Die letzte Formierung (unten rechts), würde eine weitere ergeben, wenn der obere Würfel auf dem linkesten Würfel stünde, statt auf dem rechten.
Das wäre eine 8. Lösung.
Ich finde Fliegen toll, weil ich damit 1000 Kilometer in anderthalb Stunden zurücklege und es trotzdem kürzer dauert und kaum teurer ist, als hinterher die Bahnfahrt vom Flughafen nach Hause. Ist so die geschwindigkeitsbegrenzungsfreie Autobahn für Minderbetuchte, die sich kein Auto leisten können (oder wollen). Fliegen selbst ist das Einzige, was dabei richtig läuft, nur alles drum herum ist scheiße.
Zu Technologien selbst sind meine Kommentare meist recht unterqualifiziert, doch ich kann etwas zu dem Umfeld sagen, in dem sie sich durchsetzen müssen. Vielleicht sollte jemand mal vorrechnen, wie hoch das Einkommen sein muss, damit man sich um die Umwelt – oder Welt allgemein – scheren kann oder muss. Also, wo ungefähr die Finanzgrenze zwischen Geiz und Selbsterhaltung verläuft. Unter Berücksichtigung sonstiger Umstände, denn eine Harz-IV-Mutter mit zwölf Kindern wird vermutlich nicht zwanzig Stunden am Tag damit verbringen, den ökologischsten Kühlschrank zu nehmen: Sie nimmt den billigsten Schrott aus China und dreht die Stromrechnung dem Amt an.
Geld ist ja auch nicht alles. Wenn ich alles einschränke und alles verbiete, weil die Vernunft es gebietet, gebietet die Vernunft auch, alternative Freiräume zu eröffnen: Wenn ich weder Autobahnen noch Flugzeuge habe, bleibt mir nur blanker Hass übrig, um meinen Frust zu entladen. Die Käfighaltung der Städte hat bereits heute ähnliche psychologische Effekte, wie Massentierhaltung: Neurosen und kannibalistische Aggression. Je mehr Frust die Welt dazu packt, desto mehr Freiräume brauchen wir zur Kompensation. Wir hocken gerade im perfekten Sturm, einer Kettenreaktion entlädt all der Probleme, die wir über Jahrzehnte unterm Teppich gemästet haben, Frust über Frust über Frust ist vorprogrammiert. Irgendeine Form von Aggression entsteht immer daraus.
Ich hab ja gesagt, dass die Klimabewegung in eine größere Vision eingebettet werden muss, die alle begeistert, doch eine Politkorr-Apartheid, die Weißen Rasta-Locken verbietet, begeistert mich nicht – sie schreckt ab. Bigotterie dieser Art ist auch nur Gewalt, eine Form auf links gedrehte Intoleranz, ein Mittel, den anderen Schweinen im Stall das Ohr abzukauen, sich Freiraum zu verschaffen. Damit mehr Hühner in den Käfig passen, unterteilen wir ihn in kleinere Käfige – was soll die Scheiße? So was nennt man Zermalmen. Wenn man eh gerade in der globalen Schrottpresse hockt, sind Forderungen, auf Eigenheime, Fliegen, Auto zu verzichten, reinster Wahnsinn. Die Weltrettung verkommt zu einer puritanischen Flagellanten-Bewegung, bereut eure Sünden, fastet und begrabt euch in euren Betonsärgen, bestraft euch selbst, bevor Frau Holle euch straft. Da tätowiere ich mir lieber ein Z wie Amoklauf auf den Hintern und gehe jemanden töten, egal wen, bevor all die anderen Zombies mich in Stücke reißen, bin ich zwanzig Sekunden lang frei. Wenn die eigene Gartenzwerg-Spießerhöllen-Paradies-Vision so abstinkt, dass daneben für manche selbst Hitler gut aussieht, sollte man vielleicht ins Grübeln kommen.
Die großen Versklaver, damals wie heute, locken nicht mit Sklaverei, sondern mit Freiheit. Wir bringen den Laden auf Vordermann, dann geht’s auf zu neuen Ufern. Dieser Teil der Vision ist OK, nur die Realität sah anders aus – ist halt so bei Zuhältern und Loverboys, der Putin lockt ja auch die Armen der Dritten Welt und schickt sie für sich auf den Söldner-Strich. Die Energie, die wir nicht nützen können, die uns zerstört, statt uns vorwärts zu bringen, ist nicht nur in der Umwelt, sondern auch in uns selbst. Solarkollektoren, Windräder, erzeugen keine Energie, sie konvertieren die, die schon da ist. Und genauso machen es Visionäre, des Guten wie des Bösen, mit der ungenutzten Energie der Menschen. Es ist eine erneuerbare Energiequelle, auf die die Öko-Bewegung einfach scheißt, für sie sind wir alle nur eine Krankheit, die den Schlaf der Marienkäfer trübt und Gänseblümchen husten lässt. Für die Politkorr sind wir nur Missgeburten nach der Prokrustes-Skala, die gleich die Bettlänge nachjustiert, falls mal einer genau hineinpassen sollte, nur um strecken und hacken zu können.
All die Milliarden Verlierer des Kapitalismus sehnen sich nach Hoffnung. Sie suchen sie im Islamismus, bei den Rechten, in der Flucht nach Europa. Wir ertränken sie im Mittelmeer, bombardieren sie, sperren sie in Lager, Gettos und Bürokratie. Glauben Sie, die verschwinden genauso auf Nimmerwiedersehen, wie das CO2 aus dem Schornstein?
Ich mag keine globale Erwärmung, ich vertrage schon keine heißen Sommer – ich bin Pole und kann mein Maul nicht halten, mein natürlicher Lebensraum ist Sibirien. Doch ich mag die neuen Energien auch einfach nur, weil sie billig und unerschöpflich sind. Ich hocke im Sandwich zwischen einer geothermischen Dampfmaschine und einem kosmischen Fusionsreaktor und verpeste mir den Wigwam, indem ich kompostierte Dinos verbrenne – und erschlage die anderen Neandertaler mit Steinen im Kampf darum, weil's in der Eiszeit sonst nix zum Heizen gibt? Das war vielleicht für Opi Zivilisation und Fortschritt, ich find's nur peinlich. Ich hocke auf einem nahezu menschenleeren Planeten und ersticke in überfüllten Oasen, weil ich Sibirien, Sahara, Antarktis, Zentralasien, die Meere, nicht erschließen kann, gefangen wie die Frühmenschen in Afrika, für die winterliches Europa so tödlich war, wie der Mars. Ah ja, da wollte ich nächsten Dienstag auch noch hin, haben sie mir in den Achtzigern versprochen, als wir noch Hoffnung hatten.
Die Energy-for-Bigotry-Bewegung gibt mir keine Hoffnung, die Alternativen irgendwelcher Putins, Trumps, Führer, Päpste, Kalifen, sind eher ein Grund, der Welt den Gnadenschuss zu geben, um ihre Rest-Würde zu wahren. Solange nichts Interessanteres auftaucht, bleibt mir Fliegen.
Bis dahin pflanzen wir Europa möglichst schnell mit Solarpanelen und Propellern voll. Welche Vision auch gewinnen sollte – sowohl Neuanfang wie Selbstzerstörung werden Kraft brauchen. Und auch die Kraft der Menschen wird die Zukunft mitgestalten – so oder so.
Zuerst: Ich weiß, der Artikel richtet sich vor allem an Laien, welche etwas an Mathematik interessiert sind, deshalb möchte ich auch nicht so streng sein.
1. Der Beweis von Perelman, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte. unberandete. dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist, gab es schon 2002 und nicht erst 2003, die Veröffentlichung des Beweises im Arxiv erfolgte aber in Etappen Ende des Jahres 2002 und 2003 (so dass man die Jahreszahl 2003 unter Umständen so stehen lassen kann).
2. Wenn man nicht nur die üblichen heutzutage zur Mathematik direkt zugeordneten Gebiete betrachtet, sondern auch die Gebiete der theoretischen Informatik (oder technischen Informatik), dann ist die gebrachte "Definition" des Begriffs "dynamisches System" zu einschränkend. In der Systemtheorie werden auch andere zeitabhängige Systeme, als dynamische Systeme betrachtet, bei denen nicht unbedingt mehr nur die Bewegungen eines Punkts in einer geometrischen Umgebung untersucht werden. Es kann natürlich sein, dass man in vielen Fällen ein solches dynamisches System durch Transformation und Uminterpretation vielleicht dahingehend uminterpretieren kann, dass man die Bewegung eines Punktes (wobei der Punkt dann z.B. ein Parameter wäre oder eine Vektor von Parametern, dessen Verhalten man bei der Simulation eines Modells eines dynamischen Systems untersuchen will) in einer geometrischen Umgebung untersucht (sofern man eben die ganzen verschiedenen Parameter des Systems als Raum oder geometrische Umgebung ansieht), trotzdem wäre eine etwas weiter gefasste Definition wünschenswerter. Z.B. eine Umformulierung der Passage
"Mit leistungsfähigeren Computern erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Dabei geht es darum, die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung zu untersuchen, etwa die Bahn eines Planeten. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
zu
"Mit leistungsfähigeren Computern (welche auch die Simulation von "komplexeren" Systemen ermöglichte) erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Modelle von dynamische Systeme werden häufig für die Simulation des zugehörigen dynamischen Systems verwendet. Z.B. kann man die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung, eta die Bahn eines Planeten, als ein dynamisches System ansehen. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
Ansonsten werden dynamische Systeme, sofern damit nicht nur Systeme von Differentialgleichungen (bzw. partiellen Differentialgleichungen) gemeint sind, vor allem in Lehrveranstaltungen der Informatik betrachtet, wobei die zugehörigen Vorlesungen dann durchaus Namen wie "Modellgestützte Analyse und Optimierung" oder ähnliches tragen können, denn die Definition und Implementierung von Modellen für eine Simulation der Modelle wird eben sehr häufig in der Informatik gemacht.
3. Es ist zwar richtig, dass bei chaotischen Systemen das Systemverhalten sehr empfindlich von den Anfangsbedingungen (bzw. Startwerten der Parameter des Systems) abhängt, aber dann muss allerdings bei einem chaotischen System nicht jeder Parameter des Systems einen solchen empfindlichen Einfluss auf das Systemverhalten haben. Auch wäre es schön - obwohl dieses dann vielleicht den Rahmen des Artikels sprengen könnte -, wenn man schon schreibt, dass der Begriff Chaostheorie häufig missinterpretiert wird, warum man ein System mit einem solch empfindlichem Verhalten des Systems auf die Anfangsbedingungen nun chaotisches System nennt, Die Gründe dafür liegen zum Einen daran, dass eben häufig mittels numerischer Mathematik nun das Verhalten ein solches System simuliert wird, und eben durchaus Rundungsfehler bei der Berechnung von zukünftigen Werten zu einem anderen Verhalten führen können (als das System voraussagt) - wobei man hier auch noch das Wort Maschinengenauigkeit oder ähnliches einbauen könnte (oder auch darauf hinweisen könnte, dass sich anfängliche Rundungsfehler zu noch größeren Folgefehler zu späteren Zeitpunkten führen können). Und zum Anderen durchaus auch bei der Messung der Startwerte für die Simulation eines Modells eines real existierenden Systems eben die Messgeräte zu ungenau sein könnten und eben auch Messfehler bei den Messungen auftreten können, wodurch dann auch wieder das Systemverhalten des reallen Systems sehr stark vom eigentlich durch die Simulation des Modells vorausgesagtem Verhalten abweichen können.
(Kleiner Witz zur Numerik am Rande: 1+1=3, wobei dieses für große 1 gilt - sofern man eben jede reelle Zahl jeweils nur ohne Nachkommastellen schreibt und dementsprechend rundet, allerdings für die Berechnung selbst z.B. doch die eigentlichen Zahlen auf der rechten Seite - d.h. ohne Rundung - mit einer oder zwei Nachkommastellen nutzt, aber dann das Ergebnis eben wieder auf 0 Nachkommastellen rundet...).
4. Zentraler Untersuchungsgegenstand der Topologie sind topologische Räume, wobei ein topologischer Raum nun ein Paar ist, welches aus einer Grundmenge P (welche häufig Punkte genannt werden) und einem System X von Teilmengen der Grundmenge besteht, wobei zumindest die leere Menge und die Grundmenge zu X gehören (d.h. Elemente von X sind), jeder endliche Durchschnitt aus Elementen von X wieder ein Element von X ist und weiterhin jede Vereinigung von Elementen aus X wieder ein Element von X ist (man beachte, dass hierbei nicht gefordert ist, dass die Vereinigung der Elemente nun endlich ist).
Topologische Mannigfaltigkeiten sind gewissermaßen nur eine Teilmenge aller topologischen Räume oder anders ausgedrückt bei topologischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um topologische Räume, welche noch ein paar weitere Eigenschaften besitzen. Allgemein werden (topologische) Mannigfaltigkeiten als topologische Räume angesehen, welche lokal betrachtet dem n-dimensionalen euklidschen Raum gleicht (für ein beliebiges n), wobei eine formale Definition dann doch etwas "komplizierter" ist. Lokal im vorherigen Satz bedeutet dabei, dass man jeweils einen Punkt und eine dazugehörige Umgebung des Punktes betrachtet, wobei der Umgebungsbegriff nun auch ein zentraler Begriff der allgemeinen Topologie ist.
Je nach Teilbereich der Mathematik (z.B. Analysis) werden die jeweiligen dort betrachteten Mannigfaltigkeit noch mit weiterer Struktur versehen (und dem entsprechend auch etwas anders genannt, wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Banach-Mannigfaltigkeiten und nur die jeweiligen Präfixe, wie differenzierbar, wegläßt, wenn aus dem Kontext hervorgeht, um welche Art von Mannigfaltigkeiten es sich jeweils handelt).
5. Ich bin mit dem Satz
"Mannigfaltigkeiten sind besonders angenehme Figuren: Sie besitzen keine Ecken oder Kanten, kein Anfang und kein Ende, wie eine Kugel." nicht ganz einverstanden.
Sofern hier mit Kugel nun eine offene Menge, welche nur aus den inneren Punkten der Kugel besteht, meint, so könnte ich die Aussage, im Anbetracht der Definition von topologischer Mannigfaltigkeit, akzeptieren. Aber dann ist auch jeder Würfel, nach Entfernen der Oberfläche des Würfels, womit die Ecken und Kanten des Würfels damit mit entfernt werden, nun eine topologische Mannigfaltigkeit, da dieser Würfel (ohne Oberfläche) die Definition der topologischen Mannigfaltigkeit erfüllt - die Punkte, welche die Definition nicht erfüllen wurden ja entfernt. Oder anders ausgedrückt man erhält aus jeder beliebigen (zusammenhängende) n-dimensionalen Objekt nun durch die Entfernung der Oberfläche, eine topologische Mannigfaltigkeit. Natürlich kann man einen solchen Würfel (ohne Oberfläche) anschließend - ohne die Topologie zu verändern - dann in eine Kugel (ohne Oberfläche) transformieren. Wenn man nun unter topologischen Mannigfaltigkeiten solche versteht, welche auch selbst eine abgeschlossene Menge sind, wodurch man eine vereinfachte Klassifikation der Mannigfaltigkeiten erhält, so wären weder die Kugel ohne Oberfläche noch der Würfel ohne Rand, als Mannigfaltigkeit anzusehen (obwohl es sich eigentlich um Mannigfaltigkeiten im Sinne der Definition topologischer Mannigfaltigkeiten handelt). Man hätte wohl auch dazu schreiben können, dass man hier eine "vereinfachte" Form von topologischen Mannigfaltigkeiten betrachtet und eben nicht alle topologischen Mannigfaltigkeiten.
6. Die Aussage, dass sich Sullivan direkt der Hauptaufgabe des Bereichs der Topologie, dem Klassifizieren so genannter Mannigfaltigkeiten befasst, kann man eigentlich nicht so stehen lassen. Da sich eben nur der Teilbereich der geometrischen Topologie vor allem mit topologischen Mannigfaltigkeiten und der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten befasst, wobei die Einteilung der Topologie in verschiedene Teilbereiche (allgemeinte Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie) aufgrund der Fortschritte in der Topologie Mitte des letzten Jahrhunderts gemacht wurde. Andere Teilbereiche der Topologie beschäftigen sich mit anderen Fragestellungen. Weiterhin ist auch die Knotentheorie nun als Teilgebiet der geometrischen Topologie anzusehen. Sullivan hatte sich übrigens vor allem mit dem Entfernen von Teilen einer Mannigfaltigkeit und dem Ersetzen des entfernten Teils der Mannigfaltigkeit durch eine andere Mannigfaltigkeit (also durch die Anwendung einer Art "Chirugie" auf Mannigfaltigkeiten) beschäftigt, wobei diese Methoden vor allem bei höher dimensionalen Mannigfaltigkeiten angewendet werden (aufgrund der schwierigeren Visualisierung/Vorstellung), und diese Methoden bei der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten helfen.
7. Auch mit der Aussage
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum denken. "
bin ich so nicht ganz einverstanden, da nach dem Einbettungssatz von Whitney jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung im (2n)-dimensionalen Raum besitzt. Allerdings besitzen differenzierbare Mannigfaltigkeiten noch etwas mehr Struktur als topologische Mannigfaltigkeiten, so dass vielleicht für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension n nun eine Einbettung in einem (n+1)-dimensionalen Raum ausreichend ist. Aber falls dafür kein Beweis existiert, würde ich vorschlagen die Aussage zu
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem mindestens vierdimensionalen Raum vorstellen (maximal sechsdimensionalen Raum)."
zu ändern. (In der Laudatio steht übrigens mindestens vierdimensional).
8. Es gibt unterschiedliche Arten, wie man topologische Mannigfaltigkeiten klassifizieren kann. Eine Möglichkeit ist mittels Homotopie-Gruppen und eine weitere Möglichkeit wäre mittels Homologie-Gruppen. Auch mit "rational homotopy theory", welches eine Vereinfachung der Homotopie-Theory (Homotopie-Gruppen) ist, kann man nun topologische Räume (oder topologische Mannigfaltigkeiten) versuchen zu klassifizieren, diese Theorie wurde von Sullivan mit begründet (und die Vereinfachung führt dazu, dass diese zugehörigen Homotopie-Gruppen, da durch die Vereinfachung Torsionselemente ignoriert werden, einfacher zu berechnen sind).
9. Weitere Beiträge von Sullivan zur geometrischen Topologie waren Beiträge zur Surgery-Theory, bei der aus (topologischen) Mannigfaltigkeiten nun Teile herausgeschnitten und durch andere Ersetzt werden, wobei die Surgery-Theorie eben vor allem bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten (ab Dimension 5) gut angewendet werden kann. Die Surgery-Theorie hilft darüberhinaus vor allem bei der Fragestellung, ob nun topologische Mannigfaltigkeiten auch mit einer "differenzierbaren Struktur" versehen werden können (und falls ja, mit wievielen verschiedenen), wobei die Fragestellung für die Dimension 4 noch offen ist. Bei der Fragestellung handelt es sich um die Verallgemeinerung der Vermutung von Poincaré (Generalized Poincaré Conjecture). Durch Perelman wurde diese Fragestellung wohl für den dreidimensionalen Fall mitbeantwortet (durch die Beantwortung der Vermutung von Poincaré) und eben durch die Surgery-Theory (und eben dabei wohl mit durch Sullivan) für die die mindestens fünfdimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten.
10. Erst beim Lesen der verlinkten Laudatio und ein anschließenden Blick auf die englischsprachige Wikipedia-Artikel z.B. bzgl. "Surgery-Theory" bin ich schlauer geworden, was nun wirklich Sullivans Beitrag zu der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten war (und ist).
ps. Wenn man einen Artikel eines Journalisten als Vorlage nimmt (oder eine Meldung einer Presseagentur) sollte man im Prinzip jeweils die jeweiligen Angaben auch Prüfen (da auch Journalisten, auch wenn es sich dabei um Wissenschaftsjournalisten handeln könnte, durchaus manche Sachen verkürzt oder ungenau wiedergegeben haben können, wobei durch diese Verkürzung oder ungenaue Wiedergabe ein falscher Eindruck von der Materie gegeben wird) bevor man diese Angaben als Vorlage für einen eigenen Beitrag oder Bericht nutzt. Gleiches gilt übrigens auch für Arbeiten, welche als Quellenangaben in Abschlussarbeiten in MINT-Bereich genutzt werden, da auch dort Fehler auftauchen können. So hatte ich z.B. für meine Diplomarbeiten in Mathematik (und Informatik) jeweils auch die jeweiligen genutzten Aussagen (mit Beweisen) selbst geprüft.
pps. Mir ist übrigens egal, ob dieser Beitrag veröffentlicht wird, obwohl ich angegeben habe, dass der Beitrag veröffentlicht werden darf.
wie im ersten teil dargestellt, geht es genau um den unterschied, ob es sich um eine endliche darstellung oder um eine unendliche darstellung mit grenzwerten handelt.
ebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
es ist ein wohlbekanntes phänomen das aus einem < im unendlichen grenzwert ein <= werden kann.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
vielen Dank für die schönen mathematische Artikel im Heft 04/22
"KI statt Bauchgefühl", "Langlands-Programm" und auch das Interview "Die Brückenbauerin". In allen genannten Beiträgen spielen Querverbindungen zwischen ganz verschiedenen Gebieten eine Rolle.
Interessante Aufgaben und Problemstellungen gibt es in allen mathematischen Disziplinen. Es scheinen sich aber einige wenige Teilgebiete herauszukristallisieren, die für die Problemlösungen prädestiniert sind und gewissermaßen den harten Kern der Mathematik bilden.
Die Gruppentheorie fasst die verschiedensten Objekte zusammen und kategorisiert sie.
Und schließlich lassen sich viele Problemstellungen graphentheoretisch beschreiben und durch Untersuchung der Graphen mit leistungsfähigen Algorithmen lösen.
Eine Weltformel, die die gesamte Mathematik erklärt, wird es wohl nicht geben, vielleicht jedoch eine Übersetzung weiter Teile der Mathematik in wenige Grundstrukturen (wie zB. Graphen, modulare Formen, ...).
Es bleibt sehr spannend, ich wünsche mir viele weitere ähnliche Artikel.
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg
wie im ersten teil dargestellt, geht es genau um den unterschied, ob es sich um eine endliche darstellung oder um eine unendliche darstellung mit grenzwerten handelt.
ebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
Das Problem (welches gar keins ist) entsteht nur dadurch, dass vorab keine Definitionen postuliert werden und von unterschiedlichen Konzepten und "Sprachen" ausgehend ein Widerspruch aufgezeigt werden soll.
Auf ähnlichem Niveau, nur etwas simpler, funktioniert der "Beweis", dass fast jeder Mensch 11 Finger haben soll: Beide Hände offen zeigen, an der ersten Hand von 10 beginnend rückwärts zählen, bei der 6 ankommen und die weiteren 5 Finger der anderen Hand hinzuaddieren - als 10-jährige fand ich das (noch) faszinierend.
Wenn unklar ist, worüber gesprochen wird, bleibt immer eine Unschärfe zurück. Aus Schlampigkeit und Verlust des Überblicks über das Große Ganze.
Wenn ich stumpf über die Bedeutung des Symbols "=" nachdenke kann bereits dadurch 0,333... nicht 1/3 sein. 0,333...= 0,333 und 1/3 = 1/3 wären in diesem Bezugsrahmen die einzig korrekten Aussagen.
Wenn ich beides als Symbol für etwas andere werte muss ich erklären, für welches Konzept in welchem Zusammenhang. Die Aussage "Nuss = Nuss" ist ebenso richtig wie falsch, wenn ich die Frucht dem Werkzeug gedanklich gegenüber stelle.
Archimedes von Syrakus hatte Recht, Georg Cantor ist darüber verzweifelt und der Versuch, die Mathematik von der Philosphie zu trennen und zu einer "harten" Wissenschaft zu machen hat zu einer ziemlich sinnentleerten Zombifizierung dieses wundervollen Bauplans des Universums (Eins!) geführt.
@ Paul S:
Herzlichen Dank für Ihre Annäherung an Borges' Aleph, ich habe Ihre Ausführungen mit Genuss gelesen...
Herzlichen Dank für Ihre
0.9 Periode 9 ist wohl rein als Zahl gesehen zwar kleiner als 1, aber ohne praktische Relevanz. Brüche haben eine sehr hohe praktische Relevanz, denn wir haben viele Relationen, die wir gerade mit Brüchen verstehen. Darum, wenn man 0.9 Periode 9 als Bruch verstehen will, macht es durchaus sind, dass man mit 3/3 auf 1 kommt.
Hier hat sich noch ein Fehlerteufel reingeschlichen, ich zitiere:
"Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der (n+1)-ten Stelle."
Richtig müsste es lauten:
Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der n-ten Stelle.
Stellungnahme der Redaktion
Danke für die Anmerkungen! Ich habe die entsprechenden Fehler im Text behoben.
VG, Manon Bischoff
Hier hat sich der Fehlerteufel reingeschlichen, ich zitiere:
"Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (⅒ + ⅒2 + … + ⅒n)."
Richtig müsste es lauten:
Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n) #2.
Damit stimmt auch wieder die Conclusio: #2 == 1 - 1/10^n+1.
So haben wir es zumindest in der Schule gelernt. Wer also als Ergebnis einer Rechnung irgendwo ein \(x.\overline{9}\) anstatt x + 1 hingeschrieben hat, hat einen Punkt Abzug bekommen! Und wenn es in der Abiturprüfung war.
Die Definition für reelle Zahlen lautet: Jede nicht-leere Intervallschachtelung, deren Länge gegen Null tendiert, liefert eine reelle Zahl.
Demnach sind 0.9999... und 1 ein und dasselbe Ding, da die beiden Ausdrücke durch dieselbe Intervallschachtelung dargestellt werden können. Intervallschachtelungen sind quasi die "verbindliche" Darstellung einer reellen Zahl.
Natürlich ist es Wurscht, ob man versucht eine 1 mit unendlich vielen Nullen harauszupicken/darzustellen oder eine 0 mit unendlich vielen Neunern.
Das Unterfangen wird aber, egal was man anstellt, schon aus dem Grunde scheitern, weil es unedlich lange dauern und unedlich viel Energie = Arbeit benötigen würde. An dieser Stelle machen die Mathematiker schon immer einen Gedankenfehler, weil sie nicht arbeiten müssen :-)).
Also die klare Konsequenz ist:
in unserer, so sehr endlichen Welt gilt 1,00000 ..... ungleich 0, 999999.....
egal was man anstellt.
Ich wage es fast nicht, dies hier zu schreiben, da es sich um ein über 70 Jahre altes Rätsel handelt. Aber meiner Ansicht nach macht die Münze auf ihrem Weg vier ganze Umdrehungen.
Wenn man die gelbe Münze in der Lösungsskizze lediglich um den Mittelpunkt der (oberen) orangenen Münze rotieren lässt, ist das natürlich nur eine Drittel Umdrehung (120°).
Lässt man sie jedoch über den Rand der orangenen Münze abrollen (was die Aufgabenstellung vorgibt), so rollt sie gleichzeitig über 1/3 ihres eigenen Randes ab. Es ergibt sich für diesen einen Teilvorgang eine Rotation von 2/3 einer vollen Umdrehung. Da dieser Teilvorgang sechs Mal wiederholt wird, ergibt sich eine Gesamtrotation von 6*2/3 = 4 Umdrehungen.
Meines Erachtens kann man das auch leicht in der Lösungsskizze verdeutlichen, indem man in die rotierende Münze einen Radius als Hilfslinie einzeichnet, der die Rotation anzeigt.
Die Uneindeutigkeit der Zahldarstellung ist eine implizite (und scheinbar irritierende) Eigenschaft unseres Stellenwertsystems, das uns andererseits großen Komfort in der praktischen Verarbeitung von Zahlen bietet. Die Idee, dass wir deswegen neue Objekte in der Menge der reellen Zahlen akzeptieren müssen (etwa "Infinitesimale" oder Zahlen, die "kleiner als jede reelle Zahl" sind), ist keine zweckdienliche Erweiterung der Menge der reellen Zahlen, sondern eine abstruse Rückprojektion von formalen Eigentümlichkeiten der (im Grunde beliebigen) Zahldarstellung in den mathematischen Apparat der reellen Zahlen. Die "unendlich kleinen Größen", erfunden vor 400 Jahren von Bonaventure Cavalieri für das "Prinzip der Indivisiblen", waren ein erster Einstieg in die Infinitesimalrechnung. Aber schon damals haben kluge Köpfe die Idee der unendlich kleinen Größen als logisch zu riskante Konstruktion abgelehnt (und doch wurde das Konzept noch etliche Male wieder ausgegraben).
Aus der Sicht der reellen Zahlen gibt es also stets nur die eine Zahl, die man auf verschiedene Weise schreiben kann. Insofern macht die Frage, ob 1 gleich 0,999... ist, mathematisch gar keinen Sinn. Die Frage, ob die beiden Schreibweisen zwei voneinander unterscheidbare Werte bezeichnen könnten oder müssten oder der Größe nach geordnet werden könnten, hat es im Ernst nie gegeben. Die "Beweise" für die Gleichheit, die Frau Bischoff beschreibt, waren natürlich keine Beweise, sondern eigentlich nur Beispiele dafür, dass die beiden Schreibweisen sich miteinander vertragen und widerspruchsfrei in den mathematischen Formalismus einfügen. Zugleich zeigen diese Beispiele, dass der Versuch, die hinter den unterschiedlichen Darstellungen versteckten mathematischen Objekte zu unterscheiden, die Einführung ganz unsinniger Hilfskonstrukte erfordert.
Die Mathematiker der letzten 300 Jahre haben die doppelten Darstellungen vielleicht manchmal als "Schönheitsfehler" des Stellenwert-Systems, aber sicher nie als reparaturbedürftigen Defekt in der Definition der reellen Zahlen empfunden. Und selbst dieser "Schönheitsfehler" wurde 1872 ganz nebenbei durch Dedekind in seinem Aufsatz "Stetigkeit und Irrationalzahlen" gelöst, in dem er die reellen Zahlen als Grenzwerte ("limes") von rationalen Folgen erklärte ("Dedekindscher Schnitt") und dadurch die nebeneinander existierenden Welten der Grenzwerte und der reellen Zahlen miteinander zur Deckung brachte .
Das wars dann: 0,999... beschreibt nämlich gerade die rationale Folge, die durch die rationalen Zahlen 9/10, 99/100, 999/1000, ... erzeugt wird. Der Grenzwert dieser Folge ist genau 1,0. "Reelle Zahlen" und "Grenzwerte von Folgen" sind einfach nur zwei Ausdrücke für die selbe Sache - nun also nicht mehr nur zwei "zufällig" mögliche alternative Schreibweisen, sondern definitiv das selbe Ding, wobei die Schreibweise 0,999... eine der unendlich vielen möglichen Folgen andeutet, die 1,0 als Grenzwert haben. Auch die Frage der "Größer-/Kleiner-Ordnung" der Grenzwerte hatte Dedekind in seinem Aufsatz von 1872 im gleichen Sinne erledigt erledigt. Kurzum: "gleicher Grenzwert bedeutet GLEICHHEIT".
Darum also: "Was soll denn nun noch diese Diskussion?"
Mathe ist toll!
25.03.2022, Joee^(i*Pi)+1 = 0
Da ist soviel drin: die Zahl e, Pi, die imaginäre Einheit i und es werden nur positive Zahlen addiert und das Ergebnis ist Null.
Es sind 8
25.03.2022, YaXDas wäre eine 8. Lösung.
Eine selbstzerstörende Zumutung
24.03.2022, Paul SZu Technologien selbst sind meine Kommentare meist recht unterqualifiziert, doch ich kann etwas zu dem Umfeld sagen, in dem sie sich durchsetzen müssen. Vielleicht sollte jemand mal vorrechnen, wie hoch das Einkommen sein muss, damit man sich um die Umwelt – oder Welt allgemein – scheren kann oder muss. Also, wo ungefähr die Finanzgrenze zwischen Geiz und Selbsterhaltung verläuft. Unter Berücksichtigung sonstiger Umstände, denn eine Harz-IV-Mutter mit zwölf Kindern wird vermutlich nicht zwanzig Stunden am Tag damit verbringen, den ökologischsten Kühlschrank zu nehmen: Sie nimmt den billigsten Schrott aus China und dreht die Stromrechnung dem Amt an.
Geld ist ja auch nicht alles. Wenn ich alles einschränke und alles verbiete, weil die Vernunft es gebietet, gebietet die Vernunft auch, alternative Freiräume zu eröffnen: Wenn ich weder Autobahnen noch Flugzeuge habe, bleibt mir nur blanker Hass übrig, um meinen Frust zu entladen. Die Käfighaltung der Städte hat bereits heute ähnliche psychologische Effekte, wie Massentierhaltung: Neurosen und kannibalistische Aggression. Je mehr Frust die Welt dazu packt, desto mehr Freiräume brauchen wir zur Kompensation. Wir hocken gerade im perfekten Sturm, einer Kettenreaktion entlädt all der Probleme, die wir über Jahrzehnte unterm Teppich gemästet haben, Frust über Frust über Frust ist vorprogrammiert. Irgendeine Form von Aggression entsteht immer daraus.
Ich hab ja gesagt, dass die Klimabewegung in eine größere Vision eingebettet werden muss, die alle begeistert, doch eine Politkorr-Apartheid, die Weißen Rasta-Locken verbietet, begeistert mich nicht – sie schreckt ab. Bigotterie dieser Art ist auch nur Gewalt, eine Form auf links gedrehte Intoleranz, ein Mittel, den anderen Schweinen im Stall das Ohr abzukauen, sich Freiraum zu verschaffen. Damit mehr Hühner in den Käfig passen, unterteilen wir ihn in kleinere Käfige – was soll die Scheiße? So was nennt man Zermalmen. Wenn man eh gerade in der globalen Schrottpresse hockt, sind Forderungen, auf Eigenheime, Fliegen, Auto zu verzichten, reinster Wahnsinn. Die Weltrettung verkommt zu einer puritanischen Flagellanten-Bewegung, bereut eure Sünden, fastet und begrabt euch in euren Betonsärgen, bestraft euch selbst, bevor Frau Holle euch straft. Da tätowiere ich mir lieber ein Z wie Amoklauf auf den Hintern und gehe jemanden töten, egal wen, bevor all die anderen Zombies mich in Stücke reißen, bin ich zwanzig Sekunden lang frei. Wenn die eigene Gartenzwerg-Spießerhöllen-Paradies-Vision so abstinkt, dass daneben für manche selbst Hitler gut aussieht, sollte man vielleicht ins Grübeln kommen.
Die großen Versklaver, damals wie heute, locken nicht mit Sklaverei, sondern mit Freiheit. Wir bringen den Laden auf Vordermann, dann geht’s auf zu neuen Ufern. Dieser Teil der Vision ist OK, nur die Realität sah anders aus – ist halt so bei Zuhältern und Loverboys, der Putin lockt ja auch die Armen der Dritten Welt und schickt sie für sich auf den Söldner-Strich. Die Energie, die wir nicht nützen können, die uns zerstört, statt uns vorwärts zu bringen, ist nicht nur in der Umwelt, sondern auch in uns selbst. Solarkollektoren, Windräder, erzeugen keine Energie, sie konvertieren die, die schon da ist. Und genauso machen es Visionäre, des Guten wie des Bösen, mit der ungenutzten Energie der Menschen. Es ist eine erneuerbare Energiequelle, auf die die Öko-Bewegung einfach scheißt, für sie sind wir alle nur eine Krankheit, die den Schlaf der Marienkäfer trübt und Gänseblümchen husten lässt. Für die Politkorr sind wir nur Missgeburten nach der Prokrustes-Skala, die gleich die Bettlänge nachjustiert, falls mal einer genau hineinpassen sollte, nur um strecken und hacken zu können.
All die Milliarden Verlierer des Kapitalismus sehnen sich nach Hoffnung. Sie suchen sie im Islamismus, bei den Rechten, in der Flucht nach Europa. Wir ertränken sie im Mittelmeer, bombardieren sie, sperren sie in Lager, Gettos und Bürokratie. Glauben Sie, die verschwinden genauso auf Nimmerwiedersehen, wie das CO2 aus dem Schornstein?
Ich mag keine globale Erwärmung, ich vertrage schon keine heißen Sommer – ich bin Pole und kann mein Maul nicht halten, mein natürlicher Lebensraum ist Sibirien. Doch ich mag die neuen Energien auch einfach nur, weil sie billig und unerschöpflich sind. Ich hocke im Sandwich zwischen einer geothermischen Dampfmaschine und einem kosmischen Fusionsreaktor und verpeste mir den Wigwam, indem ich kompostierte Dinos verbrenne – und erschlage die anderen Neandertaler mit Steinen im Kampf darum, weil's in der Eiszeit sonst nix zum Heizen gibt? Das war vielleicht für Opi Zivilisation und Fortschritt, ich find's nur peinlich. Ich hocke auf einem nahezu menschenleeren Planeten und ersticke in überfüllten Oasen, weil ich Sibirien, Sahara, Antarktis, Zentralasien, die Meere, nicht erschließen kann, gefangen wie die Frühmenschen in Afrika, für die winterliches Europa so tödlich war, wie der Mars. Ah ja, da wollte ich nächsten Dienstag auch noch hin, haben sie mir in den Achtzigern versprochen, als wir noch Hoffnung hatten.
Die Energy-for-Bigotry-Bewegung gibt mir keine Hoffnung, die Alternativen irgendwelcher Putins, Trumps, Führer, Päpste, Kalifen, sind eher ein Grund, der Welt den Gnadenschuss zu geben, um ihre Rest-Würde zu wahren. Solange nichts Interessanteres auftaucht, bleibt mir Fliegen.
Bis dahin pflanzen wir Europa möglichst schnell mit Solarpanelen und Propellern voll. Welche Vision auch gewinnen sollte – sowohl Neuanfang wie Selbstzerstörung werden Kraft brauchen. Und auch die Kraft der Menschen wird die Zukunft mitgestalten – so oder so.
Ein paar kleinere Kommentare (welche dann doch "länger" wurden)
24.03.2022, Björn Stuhrmann1. Der Beweis von Perelman, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte. unberandete. dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist, gab es schon 2002 und nicht erst 2003, die Veröffentlichung des Beweises im Arxiv erfolgte aber in Etappen Ende des Jahres 2002 und 2003 (so dass man die Jahreszahl 2003 unter Umständen so stehen lassen kann).
2. Wenn man nicht nur die üblichen heutzutage zur Mathematik direkt zugeordneten Gebiete betrachtet, sondern auch die Gebiete der theoretischen Informatik (oder technischen Informatik), dann ist die gebrachte "Definition" des Begriffs "dynamisches System" zu einschränkend. In der Systemtheorie werden auch andere zeitabhängige Systeme, als dynamische Systeme betrachtet, bei denen nicht unbedingt mehr nur die Bewegungen eines Punkts in einer geometrischen Umgebung untersucht werden. Es kann natürlich sein, dass man in vielen Fällen ein solches dynamisches System durch Transformation und Uminterpretation vielleicht dahingehend uminterpretieren kann, dass man die Bewegung eines Punktes (wobei der Punkt dann z.B. ein Parameter wäre oder eine Vektor von Parametern, dessen Verhalten man bei der Simulation eines Modells eines dynamischen Systems untersuchen will) in einer geometrischen Umgebung untersucht (sofern man eben die ganzen verschiedenen Parameter des Systems als Raum oder geometrische Umgebung ansieht), trotzdem wäre eine etwas weiter gefasste Definition wünschenswerter. Z.B. eine Umformulierung der Passage
"Mit leistungsfähigeren Computern erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Dabei geht es darum, die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung zu untersuchen, etwa die Bahn eines Planeten. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
zu
"Mit leistungsfähigeren Computern (welche auch die Simulation von "komplexeren" Systemen ermöglichte) erregte Ende der 1970er Jahre ein neues mathematisches Gebiet die Aufmerksamkeit vieler Wissenschaftler: die dynamischen Systeme. Modelle von dynamische Systeme werden häufig für die Simulation des zugehörigen dynamischen Systems verwendet. Z.B. kann man die Bewegung eines Punkts in einer geometrischen Umgebung, eta die Bahn eines Planeten, als ein dynamisches System ansehen. Auch Sullivan fand Gefallen an dem Thema, ebenso wie die Öffentlichkeit, die den Begriff der damit verbundenen Chaostheorie aber bis heute häufig missinterpretiert."
Ansonsten werden dynamische Systeme, sofern damit nicht nur Systeme von Differentialgleichungen (bzw. partiellen Differentialgleichungen) gemeint sind, vor allem in Lehrveranstaltungen der Informatik betrachtet, wobei die zugehörigen Vorlesungen dann durchaus Namen wie "Modellgestützte Analyse und Optimierung" oder ähnliches tragen können, denn die Definition und Implementierung von Modellen für eine Simulation der Modelle wird eben sehr häufig in der Informatik gemacht.
3. Es ist zwar richtig, dass bei chaotischen Systemen das Systemverhalten sehr empfindlich von den Anfangsbedingungen (bzw. Startwerten der Parameter des Systems) abhängt, aber dann muss allerdings bei einem chaotischen System nicht jeder Parameter des Systems einen solchen empfindlichen Einfluss auf das Systemverhalten haben. Auch wäre es schön - obwohl dieses dann vielleicht den Rahmen des Artikels sprengen könnte -, wenn man schon schreibt, dass der Begriff Chaostheorie häufig missinterpretiert wird, warum man ein System mit einem solch empfindlichem Verhalten des Systems auf die Anfangsbedingungen nun chaotisches System nennt, Die Gründe dafür liegen zum Einen daran, dass eben häufig mittels numerischer Mathematik nun das Verhalten ein solches System simuliert wird, und eben durchaus Rundungsfehler bei der Berechnung von zukünftigen Werten zu einem anderen Verhalten führen können (als das System voraussagt) - wobei man hier auch noch das Wort Maschinengenauigkeit oder ähnliches einbauen könnte (oder auch darauf hinweisen könnte, dass sich anfängliche Rundungsfehler zu noch größeren Folgefehler zu späteren Zeitpunkten führen können). Und zum Anderen durchaus auch bei der Messung der Startwerte für die Simulation eines Modells eines real existierenden Systems eben die Messgeräte zu ungenau sein könnten und eben auch Messfehler bei den Messungen auftreten können, wodurch dann auch wieder das Systemverhalten des reallen Systems sehr stark vom eigentlich durch die Simulation des Modells vorausgesagtem Verhalten abweichen können.
(Kleiner Witz zur Numerik am Rande: 1+1=3, wobei dieses für große 1 gilt - sofern man eben jede reelle Zahl jeweils nur ohne Nachkommastellen schreibt und dementsprechend rundet, allerdings für die Berechnung selbst z.B. doch die eigentlichen Zahlen auf der rechten Seite - d.h. ohne Rundung - mit einer oder zwei Nachkommastellen nutzt, aber dann das Ergebnis eben wieder auf 0 Nachkommastellen rundet...).
4. Zentraler Untersuchungsgegenstand der Topologie sind topologische Räume, wobei ein topologischer Raum nun ein Paar ist, welches aus einer Grundmenge P (welche häufig Punkte genannt werden) und einem System X von Teilmengen der Grundmenge besteht, wobei zumindest die leere Menge und die Grundmenge zu X gehören (d.h. Elemente von X sind), jeder endliche Durchschnitt aus Elementen von X wieder ein Element von X ist und weiterhin jede Vereinigung von Elementen aus X wieder ein Element von X ist (man beachte, dass hierbei nicht gefordert ist, dass die Vereinigung der Elemente nun endlich ist).
Topologische Mannigfaltigkeiten sind gewissermaßen nur eine Teilmenge aller topologischen Räume oder anders ausgedrückt bei topologischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um topologische Räume, welche noch ein paar weitere Eigenschaften besitzen. Allgemein werden (topologische) Mannigfaltigkeiten als topologische Räume angesehen, welche lokal betrachtet dem n-dimensionalen euklidschen Raum gleicht (für ein beliebiges n), wobei eine formale Definition dann doch etwas "komplizierter" ist. Lokal im vorherigen Satz bedeutet dabei, dass man jeweils einen Punkt und eine dazugehörige Umgebung des Punktes betrachtet, wobei der Umgebungsbegriff nun auch ein zentraler Begriff der allgemeinen Topologie ist.
Je nach Teilbereich der Mathematik (z.B. Analysis) werden die jeweiligen dort betrachteten Mannigfaltigkeit noch mit weiterer Struktur versehen (und dem entsprechend auch etwas anders genannt, wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Banach-Mannigfaltigkeiten und nur die jeweiligen Präfixe, wie differenzierbar, wegläßt, wenn aus dem Kontext hervorgeht, um welche Art von Mannigfaltigkeiten es sich jeweils handelt).
5. Ich bin mit dem Satz
"Mannigfaltigkeiten sind besonders angenehme Figuren: Sie besitzen keine Ecken oder Kanten, kein Anfang und kein Ende, wie eine Kugel." nicht ganz einverstanden.
Sofern hier mit Kugel nun eine offene Menge, welche nur aus den inneren Punkten der Kugel besteht, meint, so könnte ich die Aussage, im Anbetracht der Definition von topologischer Mannigfaltigkeit, akzeptieren. Aber dann ist auch jeder Würfel, nach Entfernen der Oberfläche des Würfels, womit die Ecken und Kanten des Würfels damit mit entfernt werden, nun eine topologische Mannigfaltigkeit, da dieser Würfel (ohne Oberfläche) die Definition der topologischen Mannigfaltigkeit erfüllt - die Punkte, welche die Definition nicht erfüllen wurden ja entfernt. Oder anders ausgedrückt man erhält aus jeder beliebigen (zusammenhängende) n-dimensionalen Objekt nun durch die Entfernung der Oberfläche, eine topologische Mannigfaltigkeit. Natürlich kann man einen solchen Würfel (ohne Oberfläche) anschließend - ohne die Topologie zu verändern - dann in eine Kugel (ohne Oberfläche) transformieren. Wenn man nun unter topologischen Mannigfaltigkeiten solche versteht, welche auch selbst eine abgeschlossene Menge sind, wodurch man eine vereinfachte Klassifikation der Mannigfaltigkeiten erhält, so wären weder die Kugel ohne Oberfläche noch der Würfel ohne Rand, als Mannigfaltigkeit anzusehen (obwohl es sich eigentlich um Mannigfaltigkeiten im Sinne der Definition topologischer Mannigfaltigkeiten handelt). Man hätte wohl auch dazu schreiben können, dass man hier eine "vereinfachte" Form von topologischen Mannigfaltigkeiten betrachtet und eben nicht alle topologischen Mannigfaltigkeiten.
6. Die Aussage, dass sich Sullivan direkt der Hauptaufgabe des Bereichs der Topologie, dem Klassifizieren so genannter Mannigfaltigkeiten befasst, kann man eigentlich nicht so stehen lassen. Da sich eben nur der Teilbereich der geometrischen Topologie vor allem mit topologischen Mannigfaltigkeiten und der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten befasst, wobei die Einteilung der Topologie in verschiedene Teilbereiche (allgemeinte Topologie, algebraische Topologie und geometrische Topologie) aufgrund der Fortschritte in der Topologie Mitte des letzten Jahrhunderts gemacht wurde. Andere Teilbereiche der Topologie beschäftigen sich mit anderen Fragestellungen. Weiterhin ist auch die Knotentheorie nun als Teilgebiet der geometrischen Topologie anzusehen. Sullivan hatte sich übrigens vor allem mit dem Entfernen von Teilen einer Mannigfaltigkeit und dem Ersetzen des entfernten Teils der Mannigfaltigkeit durch eine andere Mannigfaltigkeit (also durch die Anwendung einer Art "Chirugie" auf Mannigfaltigkeiten) beschäftigt, wobei diese Methoden vor allem bei höher dimensionalen Mannigfaltigkeiten angewendet werden (aufgrund der schwierigeren Visualisierung/Vorstellung), und diese Methoden bei der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten helfen.
7. Auch mit der Aussage
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem vierdimensionalen Raum denken. "
bin ich so nicht ganz einverstanden, da nach dem Einbettungssatz von Whitney jede n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Einbettung im (2n)-dimensionalen Raum besitzt. Allerdings besitzen differenzierbare Mannigfaltigkeiten noch etwas mehr Struktur als topologische Mannigfaltigkeiten, so dass vielleicht für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension n nun eine Einbettung in einem (n+1)-dimensionalen Raum ausreichend ist. Aber falls dafür kein Beweis existiert, würde ich vorschlagen die Aussage zu
"Der dreidimensionale Fall wird schon schwieriger, denn dafür muss man sich eine dreidimensionale Oberfläche in einem mindestens vierdimensionalen Raum vorstellen (maximal sechsdimensionalen Raum)."
zu ändern. (In der Laudatio steht übrigens mindestens vierdimensional).
8. Es gibt unterschiedliche Arten, wie man topologische Mannigfaltigkeiten klassifizieren kann. Eine Möglichkeit ist mittels Homotopie-Gruppen und eine weitere Möglichkeit wäre mittels Homologie-Gruppen. Auch mit "rational homotopy theory", welches eine Vereinfachung der Homotopie-Theory (Homotopie-Gruppen) ist, kann man nun topologische Räume (oder topologische Mannigfaltigkeiten) versuchen zu klassifizieren, diese Theorie wurde von Sullivan mit begründet (und die Vereinfachung führt dazu, dass diese zugehörigen Homotopie-Gruppen, da durch die Vereinfachung Torsionselemente ignoriert werden, einfacher zu berechnen sind).
9. Weitere Beiträge von Sullivan zur geometrischen Topologie waren Beiträge zur Surgery-Theory, bei der aus (topologischen) Mannigfaltigkeiten nun Teile herausgeschnitten und durch andere Ersetzt werden, wobei die Surgery-Theorie eben vor allem bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten (ab Dimension 5) gut angewendet werden kann. Die Surgery-Theorie hilft darüberhinaus vor allem bei der Fragestellung, ob nun topologische Mannigfaltigkeiten auch mit einer "differenzierbaren Struktur" versehen werden können (und falls ja, mit wievielen verschiedenen), wobei die Fragestellung für die Dimension 4 noch offen ist. Bei der Fragestellung handelt es sich um die Verallgemeinerung der Vermutung von Poincaré (Generalized Poincaré Conjecture). Durch Perelman wurde diese Fragestellung wohl für den dreidimensionalen Fall mitbeantwortet (durch die Beantwortung der Vermutung von Poincaré) und eben durch die Surgery-Theory (und eben dabei wohl mit durch Sullivan) für die die mindestens fünfdimensionalen topologischen Mannigfaltigkeiten.
10. Erst beim Lesen der verlinkten Laudatio und ein anschließenden Blick auf die englischsprachige Wikipedia-Artikel z.B. bzgl. "Surgery-Theory" bin ich schlauer geworden, was nun wirklich Sullivans Beitrag zu der Klassifikation der topologischen Mannigfaltigkeiten war (und ist).
ps. Wenn man einen Artikel eines Journalisten als Vorlage nimmt (oder eine Meldung einer Presseagentur) sollte man im Prinzip jeweils die jeweiligen Angaben auch Prüfen (da auch Journalisten, auch wenn es sich dabei um Wissenschaftsjournalisten handeln könnte, durchaus manche Sachen verkürzt oder ungenau wiedergegeben haben können, wobei durch diese Verkürzung oder ungenaue Wiedergabe ein falscher Eindruck von der Materie gegeben wird) bevor man diese Angaben als Vorlage für einen eigenen Beitrag oder Bericht nutzt. Gleiches gilt übrigens auch für Arbeiten, welche als Quellenangaben in Abschlussarbeiten in MINT-Bereich genutzt werden, da auch dort Fehler auftauchen können. So hatte ich z.B. für meine Diplomarbeiten in Mathematik (und Informatik) jeweils auch die jeweiligen genutzten Aussagen (mit Beweisen) selbst geprüft.
pps. Mir ist übrigens egal, ob dieser Beitrag veröffentlicht wird, obwohl ich angegeben habe, dass der Beitrag veröffentlicht werden darf.
fehldarstellung, eindeutig 0,9 periode immer =1
23.03.2022, Andre Brennebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
es ist ein wohlbekanntes phänomen das aus einem < im unendlichen grenzwert ein <= werden kann.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl
Brücken in der Mathematik
23.03.2022, Lutz Muchevielen Dank für die schönen mathematische Artikel im Heft 04/22
"KI statt Bauchgefühl", "Langlands-Programm" und auch das Interview "Die Brückenbauerin". In allen genannten Beiträgen spielen Querverbindungen zwischen ganz verschiedenen Gebieten eine Rolle.
Interessante Aufgaben und Problemstellungen gibt es in allen mathematischen Disziplinen. Es scheinen sich aber einige wenige Teilgebiete herauszukristallisieren, die für die Problemlösungen prädestiniert sind und gewissermaßen den harten Kern der Mathematik bilden.
Die Gruppentheorie fasst die verschiedensten Objekte zusammen und kategorisiert sie.
Und schließlich lassen sich viele Problemstellungen graphentheoretisch beschreiben und durch Untersuchung der Graphen mit leistungsfähigen Algorithmen lösen.
Eine Weltformel, die die gesamte Mathematik erklärt, wird es wohl nicht geben, vielleicht jedoch eine Übersetzung weiter Teile der Mathematik in wenige Grundstrukturen (wie zB. Graphen, modulare Formen, ...).
Es bleibt sehr spannend, ich wünsche mir viele weitere ähnliche Artikel.
Herzliche Grüße
Lutz Muche, Freiberg
fehldarstellung, eindeutig 0,9 periode immer =1
23.03.2022, Andre Brennebensogut könnte man anzweifeln ob 1,0=1 oder 3,14...=pi ist.
man kann in dem zusammenhang auch offene und abgeschlossene mengen diskutieren. zum beispiel ist 1-epsilon element von [0,1), aber 0,9 periode und 1 sind es nicht.
man kann auch sagen das 0,9 periode in einer epsilon umgebung von 1 ist, daraus folgt aber noch kein ungleich 1.
die diskussion mit aufrunden von 0,999 ergibt sich nur im falle einer endlichen darstellung. dies tritt zum beispiel häufig beim vergleich reeller zahlen und maschinenzahlen (die naturgemäß endliche darstellungen sind). dann gibt es viele rechnungen zur fehlerfortpflanzung oder stabilitätsanalysen.
der verweis auf nichtstandart analysis ist so FALSCH.
in der nichtstandard analysis werden die reellen zahlen um hyperreelle zahlen erweitert. so gibt es außer 0,9 periode (dem grenzwert) auch die hyperreelle zahl (0.9;0.99;0.999;...). Diese 2 Zahlen sind VERSCHIEDEN.
Erstere ist auch in nichtstandart analysis gleich 1, letztere nicht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl
Taschenspielertrick
23.03.2022, DianaAuf ähnlichem Niveau, nur etwas simpler, funktioniert der "Beweis", dass fast jeder Mensch 11 Finger haben soll: Beide Hände offen zeigen, an der ersten Hand von 10 beginnend rückwärts zählen, bei der 6 ankommen und die weiteren 5 Finger der anderen Hand hinzuaddieren - als 10-jährige fand ich das (noch) faszinierend.
Wenn unklar ist, worüber gesprochen wird, bleibt immer eine Unschärfe zurück. Aus Schlampigkeit und Verlust des Überblicks über das Große Ganze.
Wenn ich stumpf über die Bedeutung des Symbols "=" nachdenke kann bereits dadurch 0,333... nicht 1/3 sein. 0,333...= 0,333 und 1/3 = 1/3 wären in diesem Bezugsrahmen die einzig korrekten Aussagen.
Wenn ich beides als Symbol für etwas andere werte muss ich erklären, für welches Konzept in welchem Zusammenhang. Die Aussage "Nuss = Nuss" ist ebenso richtig wie falsch, wenn ich die Frucht dem Werkzeug gedanklich gegenüber stelle.
Archimedes von Syrakus hatte Recht, Georg Cantor ist darüber verzweifelt und der Versuch, die Mathematik von der Philosphie zu trennen und zu einer "harten" Wissenschaft zu machen hat zu einer ziemlich sinnentleerten Zombifizierung dieses wundervollen Bauplans des Universums (Eins!) geführt.
@ Paul S:
Herzlichen Dank für Ihre Annäherung an Borges' Aleph, ich habe Ihre Ausführungen mit Genuss gelesen...
Herzlichen Dank für Ihre
Brüche sind praktisch
23.03.2022, MichelNoch ein Fehler
22.03.2022, Oliver H. Ohly"Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der (n+1)-ten Stelle."
Richtig müsste es lauten:
Genau dieses Ergebnis hat man wohl erwartet, denn 0,9999…9 mit Neunen bis zur n-ten Stelle entspricht einer Eins, abzüglich 0,00…01 mit der 1 an der n-ten Stelle.
Danke für die Anmerkungen! Ich habe die entsprechenden Fehler im Text behoben.
VG, Manon Bischoff
Kleiner Fehler
22.03.2022, Oliver H. Ohly"Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (⅒ + ⅒2 + … + ⅒n)."
Richtig müsste es lauten:
Damit erhält man: 0,9 · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n). Nun kann man die 0,9 als 1 – ⅒ umschreiben, um eine schönere Formel zu erhalten, die nur die Zahl ⅒ und 1 enthält: (1 – ⅒) · (1+⅒ + ⅒2 + … + ⅒n) #2.
Damit stimmt auch wieder die Conclusio: #2 == 1 - 1/10^n+1.
Die Zahl 0.99999... gibt es gar nicht
22.03.2022, Stefan EnsslenDie Definition für reelle Zahlen lautet: Jede nicht-leere Intervallschachtelung, deren Länge gegen Null tendiert, liefert eine reelle Zahl.
Demnach sind 0.9999... und 1 ein und dasselbe Ding, da die beiden Ausdrücke durch dieselbe Intervallschachtelung dargestellt werden können. Intervallschachtelungen sind quasi die "verbindliche" Darstellung einer reellen Zahl.
Es gibt keine Unendlichkeit.
22.03.2022, Almun HublaDas Unterfangen wird aber, egal was man anstellt, schon aus dem Grunde scheitern, weil es unedlich lange dauern und unedlich viel Energie = Arbeit benötigen würde. An dieser Stelle machen die Mathematiker schon immer einen Gedankenfehler, weil sie nicht arbeiten müssen :-)).
Also die klare Konsequenz ist:
in unserer, so sehr endlichen Welt gilt 1,00000 ..... ungleich 0, 999999.....
egal was man anstellt.
Die Münze macht vier Umdrehungen!?
19.03.2022, Reinhold KrayerWenn man die gelbe Münze in der Lösungsskizze lediglich um den Mittelpunkt der (oberen) orangenen Münze rotieren lässt, ist das natürlich nur eine Drittel Umdrehung (120°).
Lässt man sie jedoch über den Rand der orangenen Münze abrollen (was die Aufgabenstellung vorgibt), so rollt sie gleichzeitig über 1/3 ihres eigenen Randes ab. Es ergibt sich für diesen einen Teilvorgang eine Rotation von 2/3 einer vollen Umdrehung. Da dieser Teilvorgang sechs Mal wiederholt wird, ergibt sich eine Gesamtrotation von 6*2/3 = 4 Umdrehungen.
Meines Erachtens kann man das auch leicht in der Lösungsskizze verdeutlichen, indem man in die rotierende Münze einen Radius als Hilfslinie einzeichnet, der die Rotation anzeigt.
Was habe ich übersehen?
Was soll diese Diskussion?
19.03.2022, Ludwig KnoblauchAus der Sicht der reellen Zahlen gibt es also stets nur die eine Zahl, die man auf verschiedene Weise schreiben kann. Insofern macht die Frage, ob 1 gleich 0,999... ist, mathematisch gar keinen Sinn. Die Frage, ob die beiden Schreibweisen zwei voneinander unterscheidbare Werte bezeichnen könnten oder müssten oder der Größe nach geordnet werden könnten, hat es im Ernst nie gegeben. Die "Beweise" für die Gleichheit, die Frau Bischoff beschreibt, waren natürlich keine Beweise, sondern eigentlich nur Beispiele dafür, dass die beiden Schreibweisen sich miteinander vertragen und widerspruchsfrei in den mathematischen Formalismus einfügen. Zugleich zeigen diese Beispiele, dass der Versuch, die hinter den unterschiedlichen Darstellungen versteckten mathematischen Objekte zu unterscheiden, die Einführung ganz unsinniger Hilfskonstrukte erfordert.
Die Mathematiker der letzten 300 Jahre haben die doppelten Darstellungen vielleicht manchmal als "Schönheitsfehler" des Stellenwert-Systems, aber sicher nie als reparaturbedürftigen Defekt in der Definition der reellen Zahlen empfunden. Und selbst dieser "Schönheitsfehler" wurde 1872 ganz nebenbei durch Dedekind in seinem Aufsatz "Stetigkeit und Irrationalzahlen" gelöst, in dem er die reellen Zahlen als Grenzwerte ("limes") von rationalen Folgen erklärte ("Dedekindscher Schnitt") und dadurch die nebeneinander existierenden Welten der Grenzwerte und der reellen Zahlen miteinander zur Deckung brachte .
Das wars dann: 0,999... beschreibt nämlich gerade die rationale Folge, die durch die rationalen Zahlen 9/10, 99/100, 999/1000, ... erzeugt wird. Der Grenzwert dieser Folge ist genau 1,0. "Reelle Zahlen" und "Grenzwerte von Folgen" sind einfach nur zwei Ausdrücke für die selbe Sache - nun also nicht mehr nur zwei "zufällig" mögliche alternative Schreibweisen, sondern definitiv das selbe Ding, wobei die Schreibweise 0,999... eine der unendlich vielen möglichen Folgen andeutet, die 1,0 als Grenzwert haben. Auch die Frage der "Größer-/Kleiner-Ordnung" der Grenzwerte hatte Dedekind in seinem Aufsatz von 1872 im gleichen Sinne erledigt erledigt. Kurzum: "gleicher Grenzwert bedeutet GLEICHHEIT".
Darum also: "Was soll denn nun noch diese Diskussion?"