Normalerweise sind Zahlen das, woraus mathematische Formeln bestehen. Manchmal braucht man aber auch Formeln, um Zahlen ausdrücken und verstehen zu können. Besonders dann, wenn es um sehr große Zahlen geht. Und wenn die Mathematik von "sehr großen" Zahlen spricht, dann meint sie auch sehr große Zahlen!

Zum Beispiel "Grahams Zahl". Ihren Namen hat sie vom amerikanischen Mathematiker Ronald Graham bekommen. Eigentlich ist sie eine ganz normale Zahl. Eine "natürliche" Zahl also, wie die Zahlen, mit denen wir zählen: 1, 2, 3, 4 und so weiter. Grahams Zahl ist allerdings so enorm groß, dass es äußerst komplex ist, ihre Größe zu beschreiben. So komplex, dass man nicht einmal genau weiß, wie diese Zahl überhaupt aussieht.

Ronald Graham hat sich diese Zahl nicht einfach so ausgedacht, sie tauchte im Rahmen eines mathematischen Beweises auf, bei dem es um Kombinatorik geht, also die mathematische Disziplin, die sich damit beschäftigt, auf wie viele unterschiedliche Arten man Objekte kombinieren kann. Bei einer sehr speziellen Fragestellung ging es darum, eine Obergrenze für die Zahl möglicher Kombinationen zu finden; und Graham konnte nachweisen, dass die nun nach ihm benannte Zahl genau eine solche Obergrenze ist. So sieht sie aus:

Grahams Zahl
© Florian Freistetter
(Ausschnitt)
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Mit der Art, wie wir normalerweise Zahlen bezeichnen, hat das wenig zu tun. Aber Grahams Zahl ist eben auch keine normale Zahl. Der nach oben zeigende Pfeil, der in der Formel auftaucht, ist eine spezielle mathematische Notation, um solche großen Zahlen in den Griff zu bekommen. Es handelt sich um eine wiederholte Potenzierung, wobei eine Potenzierung selbst nichts anderes ist als eine wiederholte Multiplikation. In der einfachsten Version ist der Pfeil nur eine andere Art, um die Potenzierung zu schreiben. 53 kann zum Beispiel so auch als 5↑3 geschrieben werden. Wenn der Pfeil allerdings zweimal angewendet wird, werden die Zahlen sehr schnell sehr groß. Allgemein bedeutet ein Ausdruck der Form a↑↑b, dass die Zahl a genau b-mal potenziert wird. 4↑↑3 steht also für 4↑(4↑4) beziehungsweise für 4↑256 oder 4256, und das Ergebnis dieser Berechnung ist schon eine Zahl mit 154 Ziffern!

Noch größer werden die Zahlen, wenn der Pfeil mehrfach benutzt wird. Der Ausdruck 4↑↑↑3 beschreibt die Berechnung von 4↑↑(4↑↑4), was wiederum, wie oben erläutert, in einzelne Potenzierungen aufgedröselt werden muss, bis man am Ende der Rechnung eine absurd große Zahl erhält. Grahams Zahl aber beginnt da noch nicht einmal. Den Anfang macht die Berechnung der Zahl 3↑↑↑↑3, und das Ergebnis ist die Anzahl der Pfeile, die für den nächsten Schritt der Rechnung nötig sind. Das Ganze geht in 64 Schritten so weiter, bis irgendwann die eigentliche Zahl berechnet werden kann.

Oder nicht kann: Denn natürlich hat noch nie jemand tatsächlich das Ergebnis all dieser Potenzierungen ausgerechnet. Das ist auch gar nicht möglich; allein schon um den ersten Schritt bei der Berechnung von Grahams Zahl durchzuführen, müsste man die Zahl 3 mehr als sieben Billionen Mal hintereinander potenzieren. Und wäre dann noch nicht einmal annähernd beim wahren Wert von Grahams Zahl angelangt … Bis heute weiß also niemand, wie groß Grahams Zahl wirklich ist. (Aber immerhin kann man berechnen, wie die Zahl endet: Ihre letzte Ziffer etwa muss eine 7 sein.)

Als Astronom werde ich oft gefragt, wie ich damit klarkomme, dass das Universum so unvorstellbar groß ist; die Distanzen so enorm, und die Zeiträume so riesig. Ich komme damit eigentlich recht gut klar und finde die räumlichen und zeitlichen Ausmaße des Kosmos eher inspirierend und faszinierend. Im Vergleich zur Mathematik ist aber selbst die Gesamtheit des Universums winzig. Wenn alle Sekunden seit dem Urknall abgezählt sind; wenn alle Atome des Weltalls durchnummeriert wurden – dann hat man die Größe von Grahams Zahl noch nicht einmal ansatzweise erreicht! Nein, das Universum macht mir keine Angst – bei den unmenschlich großen Zahlen der Mathematik kann ich mich aber zwischen Faszination und Erschrecken oft nicht entscheiden.