Im fünften Semester meines Astronomiestudiums hörte ich meine erste Vorlesung über die Himmelsmechanik. Dort stellte uns der Professor ein simpel erscheinendes mathematisches Problem vor. Gegeben sei eine beliebige positive natürliche Zahl. Ist diese Zahl gerade, dann wird sie durch 2 geteilt. Ist sie ungerade, dann multipliziert man sie mit 3 und addiert 1. Mit dem Ergebnis dieser Rechnung wird genau nach diesem Schema weiterverfahren. Irgendwann landet man so bei der Zahl 4, aus der dann im nächsten Schritt eine 2 wird und dann eine 1. Mit der 1 landet man laut der Rechenvorschrift wieder bei der 4, und es ergibt sich ein unendlicher Zyklus der Form 4, 2, 1, 4, 2, 1, … Die Frage, die wir beantworten sollten, lautete: Gilt das tatsächlich für jede beliebige positive natürliche Zahl, oder gibt es Ausnahmen?

Uns war damals noch nicht klar, dass der Professor uns eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik als Hausaufgabe mitgegeben hatte. Mathematisch formuliert stellt es die Frage nach der iterativen Auswertung dieser Funktion:

Collatz-Vermutung
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(Ausschnitt)
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Ich erinnere mich noch gut daran, wie ich damals Seite um Seite vollgekritzelt habe, um eine Antwort auf die Frage zu finden. Da man das Problem so simpel formulieren konnte, musste auch eine Lösung einfach zu finden sein – dachte ich zumindest. Tatsächlich sind daran aber schon Generationen von Mathematikern gescheitert. Der berühmte Zahlentheoretiker Paul Erdős meinte, dass "die Mathematik noch nicht bereit ist für solche Probleme", und der Mathematiker Richard Guy warnte sogar: "Don't try to solve these problems."

Das mathematische Problem ist nach dem Deutschen Lothar Collatz benannt, der es im Jahr 1937 erstmals aufgestellt hat. Mit der Hilfe von Computern hat man schon absurd große Mengen an Zahlen überprüft. Für alle natürlichen Zahlen bis 5×260 ist die Collatz-Vermutung erfüllt. Aber gleich wie viele Zahlen man überprüft, am Ende zählt in der Mathematik nur der logisch strenge und allgemein gültige Beweis.

Das Verhalten der durch Collatz' Rechenvorschrift erzeugten Zahlenreihen kann überraschend komplex sein. Startet man zum Beispiel mit der Zahl 26, ist man in zehn Schritten am Ziel (26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1). Beginnt man dagegen mit der 27, dann braucht es 111 Schritte, bis man bei der 1 angelangt ist, und dazwischen steigt die Zahlenreihe zu erstaunlich hohen Werten auf (in diesem Fall bis zur 9232).

Nachdem ich damals trotz stundenlanger Rechnerei beim Beweis der Collatz-Vermutung nicht vorangekommen bin, habe ich mich entschieden, ein Computerprogramm zu schreiben, um so vielleicht besser zu verstehen, was hier vor sich geht. Vielleicht, so die Idee, gibt es ja irgendeine klare Abhängigkeit zwischen der Länge der Zahlenreihe und dem Startwert, die bei einem Beweis hilfreich sein könnte. Die so produzierten Diagramme waren zwar recht hübsch, haben mich aber leider auch nicht weitergebracht.

Unserem Professor war natürlich klar, dass aller Wahrscheinlichkeit niemand von uns das Problem lösen würde. Doch darum ging es auch gar nicht. Die Collatz-Vermutung lässt sich mit simpelster Mathematik formulieren und verstehen. Ihre scheinbare Schlichtheit steht aber in direktem Gegensatz zur Komplexität, die einem begegnet, wenn man sich in die Details vertieft, die in der Formel versteckt sind. Sie symbolisiert all das, was die Mathematik in meinen Augen so interessant macht – all die Geheimnisse und Erkenntnisse, die in den simplen Beziehungen zwischen simplen Zahlen verborgen sind.

Wer die Collatz-Vermutung kennen lernt und die Mathematik danach trotzdem langweilig findet, sollte sich am besten ein anderes Arbeitsfeld suchen. Wir Studenten aus dem Himmelsmechanikkurs waren allerdings begeistert. Wir suchten noch den ganzen Rest des Semesters nach einem Beweis. Gefunden haben wir ihn zwar nicht – dafür aber die Liebe zur Mathematik.