ein Signifikanztest zum Prüfen der Hypothese, ob zwei Zufallsgrößen unabhängig voneinander sind oder nicht.

Es sei (X, Y) ein zweidimensionaler diskreter Zufallsvektor, der die Werte (a_i, b_j), (i = 1,…,r; j = 1,…,m) mit den Wahrscheinlichkeiten \begin{eqnarray}{p}_{ij}=P(X={a}_{i},\,\,\,Y={b}_{j})\end{eqnarray} annimmt. Weiterhin seien \begin{eqnarray}{p}_{i.}=\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{p}_{ij}\,\,\,\text{und}\,\,\,{p}_{.j}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{p}_{ij}\end{eqnarray} die Randwahrscheinlichkeiten. Die zu prüfende Hypothese lautet: \begin{eqnarray}H:{p}_{ij}={p}_{i.}{p}_{.j}\mathrm\ddot{u}\text{alle}i=1,\ldots, k;j=1,\ldots, m.\end{eqnarray}

Zur Berechnung der Testgröße T für diesen Test wird von (X, Y) eine Stichprobe des Umfangs n aufgestellt.

Sei H_ij die beobachtete absolute Anzahl der Stichprobenwerte bei denen X = a_i, und Y = b_j ist. Die verwendete Testgröße ist die gleiche wie im χ²-Homogenitätstest \begin{eqnarray}T=\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\frac{{({H}_{ij}-{H}_{ij}^{E})}^{2}}{{H}_{ij}^{E}},\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{H}_{ij}^{E}=\frac{{H}_{i.}{H}_{.j}}{n}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}{H}_{i.}=\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{H}_{ij},{H}_{.j}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{H}_{ij},\,n=\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{H}_{ij},\end{eqnarray} die unter der Annahme der Gültigkeit der Hypothese H erwartete absolute Häufigkeit des Auftretens des Wertepaares (a_i, b_j) in der Stichprobe von (X, Y) ist.

Die Testgröße T besitzt unter der Hypothese H asymptotisch für n → ∞ eine χ²-Verteilung mit (m − 1)(k − 1) Freiheitsgraden. Sie wird mit dem kritischen Wert \begin{eqnarray}\varepsilon ={\chi }^{2}(1-\alpha;m-1;k-1)\end{eqnarray} verglichen, wobei χ²(1 − α; m − 1, k − 1) das (1 − α)-Quantil der χ²-Verteilung mit (m − 1)(k − 1) Freiheitsgraden ist.

α mit 0 < α < 1 ist eine vorgegebene Zahl. In der Regel wird α = 0.01 oder α = 0.05 gewählt.

Ist T < ϵ, wird die Hypothese H angenommen, andernfalls wird sie abgelehnt. Dieser Test besitzt asymptotisch für n → ∞ den Fehler erster Art α.