ein im folgenden konstruierter Cartanscher Raum.

Ist V ⊂ 𝔸ⁿ(k) affine algebraische Menge über dem algebraisch abgeschlossenen Körper k, U ⊂ V offen in der Zariski-Topologie, so heißt eine Funktion f : U → k rational, wenn sie sich lokal als Quotient von ganz-rationalen Funktionen, eingeschränkt auf U, schreiben läßt. Mit 𝒪_V (U) bezeichne man die Menge der rationalen Funktionen f : U → k. Durch U ↦ 𝒪_V (U) erhält man eine Garbe von lokalen k-Algebren auf V bzgl. der Zariski-Topologie.

Jeder zu (V, 𝒪_V) k-isomorphe Cartansche Raum heißt dann affine algebraische Varietät, und eine algebraische Varietät ist nun ein Cartanscher Raum über k, der lokal isomorph zu affinen algebraischen Varietäten über k ist, durch endlich viele offene affine algebraische Varietäten überdeckt wird, und so, daß für offene affine algebraische Untervarietäten U₁, U₂ auch U₁ ∩ U₂ affin ist und die Algebra 𝒪_V (U₁ ∩ U₂) durch die Bilder von 𝒪_V (U₁), 𝒪_V (U₂) erzeugt wird.

Die wichtigste Klasse von Beispielen sind projektive Varietäten.